Exercice 29, § 1 Algèbre commutative, IX Soit AAA un anneau. Soient n∈Jn \in Jn∈J, ppp un nombre premier, et a∈AJa \in A^Ja∈AJ. Établir la relation Φpn(a)=Φn(ap)+pwΦm(fpw(a)), ouˋ w=wp(pn) et pn=pwm. On a donc \Phi_{pn}(a) = \Phi_n(a^p) + p^w \Phi_m(f_{p^w}(a)), \text{ où } w = w_p(pn) \text{ et } pn = p^w m. \text{ On a donc} Φpn(a)=Φn(ap)+pwΦm(fpw(a)), ouˋ w=wp(pn) et pn=pwm. On a donc Φpn(a)≡Φn(ap)mod .pwp(pn)A,et en particulierΦpn(a)≡Φn(a)pmod .pA. \Phi_{pn}(a) \equiv \Phi_n(a^p) \mod. p^{w_p(pn)}A, \quad \text{et en particulier} \quad \Phi_{pn}(a) \equiv \Phi_n(a)^p \mod. pA . Φpn(a)≡Φn(ap)mod.pwp(pn)A,et en particulierΦpn(a)≡Φn(a)pmod.pA. Solution Aucune solution n’a encore été écrite.