Exercice 3, § 1

Algèbre commutative, IX, p. 42

a) Il existe une unique suite de polynômes $(R_n)_{n \in \mathbf{N}}$ de $\mathbf{Z}[X, Y]$ telle que, pour tout entier $n \geqslant 0$ , on ait

X^{p^n} + Y^{p^n} = \sum_{i=0}^n p^i R_i(X, Y)^{p^{n-i}}.

b) Si $p$ est impair, on a, pour tout $n \in \mathbf{N}$ ,

R_n(X, -X) = 0.

Si $p = 2$ , on a

R_1(X, Y) = -XY

R_n(X, X) \equiv 0 \mod 2 \quad \text{pour } n \geqslant 2.

Solution

Aucune solution n’a encore été écrite.