Exercice 30, § 1

Soit $p$ un nombre premier. Soient $A$ un anneau filtré et $(J_r)_{r \in \mathbf{Z}}$ sa filtration. On suppose que l’on a $J_0 = A$ et $p.1_A \in J_1$. Soient $a$ et $b$ des éléments de $A^J$ et $r \in \mathbf{N}$. a) Si l’on a $a_d \equiv b_d \mod. J_r$ pour tout $d \in J_n$, alors on a $\Phi_n(a) \equiv \Phi_n(b) \mod. J_{r+k}$ où $k = w_p(n)$. b) Supposons que, pour tout entier $m \geq 1$ et tout $x \in A$, la relation $p.x \in J_{m+1}$ entraîne $x \in J_m$. Si l’on a $\Phi_d(a) \equiv \Phi_d(b) \mod. J_{r+w_p(d)}$, pour tout $d \in J_n$, alors $a_d \equiv b_d \mod. J_r$ pour tout $d \in J_n$.