Exercice 32, § 1

Soit $A$ un anneau. a) Le noyau de $\Phi : A^J \to A^J$ est formé des éléments $a$ tels que $da_d = 0$ pour tout $d \in J$. b) Supposons donné pour tout nombre premier $p$ un endomorphisme $\sigma_p$ de $A$ tel que $\sigma_p(a) \equiv a^p \mod. pA$ pour tout $a \in A$. Alors l’image de $\Phi$ est formée des éléments $u$ tels que $u_{np} \equiv \sigma_p(u_n) \mod. p^{w_p(np)}A$ pour tout $n \in J$. Cette image est un sous-anneau de $A^J$ stable par $f_n$ et $v_n$ pour tout $n \in J$. c) Soit $q \in J$. Si la multiplication par $q$ dans $A$ est bijective, alors la multiplication par $q$ est encore bijective dans $\mathrm{Ker}(\Phi)$ et dans $\mathrm{Im}(\Phi)$.