Bài tập 32, § 1

Cho $A$ là một vành. a) Hạt nhân của $\Phi : A^J \to A^J$ gồm các phần tử $a$ sao cho $da_d = 0$ với mọi $d \in J$. b) Giả sử với mọi số nguyên tố $p$ cho trước một tự đồng cấu $\sigma_p$ của $A$ sao cho $\sigma_p(a) \equiv a^p \mod. pA$ với mọi $a \in A$. Khi đó ảnh của $\Phi$ gồm các phần tử $u$ sao cho $u_{np} \equiv \sigma_p(u_n) \mod. p^{w_p(np)}A$ với mọi $n \in J$. Ảnh này là một vành con của $A^J$ ổn định đối với $f_n$ và $v_n$ với mọi $n \in J$. c) Cho $q \in J$. Nếu phép nhân bởi $q$ trong $A$ là song ánh, thì phép nhân bởi $q$ lại là song ánh trong $\mathrm{Ker}(\Phi)$ và trong $\mathrm{Im}(\Phi)$.