Exercice 33, § 1

a) Soit $J'$ une partie de $J$. Soient $R$ un anneau commutatif et $R[X]$ la $R$-algèbre de polynômes en une famille $X = (X_n)_{n \in J'}$ d’indéterminées, munie de la graduation de type $\mathbf{Z}$ telle que $X_n$ soit de degré $n$ pour tout $n \in J'$. Soit, pour tout $n \in J'$, $\varphi_n(X)$ un élément de $R[X]$ homogène de degré $n$ où le coefficient de $X_n$ soit inversible dans $R$. Alors l’endomorphisme $\varphi$ de $R[X]$ tel que $\varphi(X_n) = \varphi_n(X)$ est un automorphisme de la $R$-algèbre graduée $R[X]$. b) Soient $J' = J$, $R = \mathbf{Q}$, et $\varphi_n(X) = \Phi_n(X)$. Il existe, pour tout $n \in J$, un et un seul élément $\Psi_n(X)$ de $\mathbf{Q}[X]$, homogène de degré $n$, qui ne dépend que des indéterminées $(X_d)_{d \in J_n}$, et tel que $\Psi_n(\Phi(X)) = X_n$. (Appliquer $a$ avec $J' = J_n$.) c) Si $A$ est une $\mathbf{Q}$-algèbre, $\Phi : A^J \to A^J$ est bijectif, son inverse étant donné par $a \mapsto (\Psi_n(a))_{n \in J}$. d) Si $A$ est un anneau dont le groupe additif est sans $\mathbf{Z}$-torsion, $\Phi : A^J \to A^J$ est injectif. (Plonger $A^J$ dans $(\mathbf{Q} \otimes A)^J$.)