Bài tập 33, § 1

a) Cho $J'$ là một tập con của $J$. Cho $R$ là một vành giao hoán và $R[X]$ là đại số $R$ của các đa thức theo một họ $X = (X_n)_{n \in J'}$ các bất định, được trang bị phép phân bậc kiểu $\mathbf{Z}$ sao cho $X_n$ có bậc $n$ với mọi $n \in J'$. Với mọi $n \in J'$, cho $\varphi_n(X)$ là một phần tử thuần nhất của $R[X]$ có bậc $n$, trong đó hệ số của $X_n$ khả nghịch trong $R$. Khi đó tự đồng cấu $\varphi$ của $R[X]$ sao cho $\varphi(X_n) = \varphi_n(X)$ là một tự đẳng cấu của đại số $R$ phân bậc $R[X]$. b) Cho $J' = J$, $R = \mathbf{Q}$, và $\varphi_n(X) = \Phi_n(X)$. Với mọi $n \in J$, tồn tại duy nhất một phần tử thuần nhất $\Psi_n(X)$ của $\mathbf{Q}[X]$ có bậc $n$, chỉ phụ thuộc vào các bất định $(X_d)_{d \in J_n}$, và sao cho $\Psi_n(\Phi(X)) = X_n$. (Áp dụng $a$ với $J' = J_n$.) c) Nếu $A$ là một đại số $\mathbf{Q}$, thì $\Phi : A^J \to A^J$ là song ánh, với nghịch đảo được cho bởi $a \mapsto (\Psi_n(a))_{n \in J}$. d) Nếu $A$ là một vành mà nhóm cộng của nó không có $\mathbf{Z}$-xoắn, thì $\Phi : A^J \to A^J$ là đơn ánh. (Nhúng $A^J$ vào $(\mathbf{Q} \otimes A)^J$.)