Exercice 35, § 1

Soit A un anneau. a) L’ensemble $A^J$, muni de l’addition

et de la multiplication est un anneau commutatif, noté U(A). L’élément neutre pour l’addition est la suite $0$ dont tous les termes sont nuls ; l’élément neutre pour la multiplication est la suite $1$ dont tous les termes sont nuls sauf celui d’indice 1, qui vaut $1_A$. L’opposé d’un élément $a$ de U(A) est $I(a)$. b) Soit $\rho : B \to A$ un homomorphisme d’anneaux. Alors $U(\rho) : U(B) \to U(A)$ défini par $U(\rho)(b_n)_{n \in J} = (\rho(b_n))_{n \in J}$ est un homomorphisme d’anneaux. c) L’application $\Phi : U(A) \to A^J$ est un homomorphisme d’anneaux. En d’autres termes $\Phi_n : U(A) \to A$ est un homomorphisme d’anneaux pour tout $n \in J$. d) Si le groupe additif de A est sans $\mathbf{Z}$-torsion, le groupe additif de U(A) l’est aussi. e) Soit $q \in J$. Si la multiplication par $q$ est bijective dans A, elle est encore bijective dans U(A). (Utiliser l’exerc. 32, c), p. 51.)