Bài tập 35, § 1

Cho A là một vành. a) Tập hợp $A^J$, được trang bị phép cộng

và phép nhân là một vành giao hoán, được ký hiệu bởi U(A). Phần tử đơn vị đối với phép cộng là dãy $0$ mà mọi số hạng của nó đều bằng không; phần tử đơn vị đối với phép nhân là dãy $1$ mà mọi số hạng của nó đều bằng không ngoại trừ số hạng có chỉ số 1, bằng $1_A$. Phần tử đối của một phần tử $a$ của U(A) là $I(a)$. b) Cho $\rho : B \to A$ là một đồng cấu vành. Khi đó $U(\rho) : U(B) \to U(A)$ được xác định bởi $U(\rho)(b_n)_{n \in J} = (\rho(b_n))_{n \in J}$ là một đồng cấu vành. c) Ánh xạ $\Phi : U(A) \to A^J$ là một đồng cấu vành. Nói cách khác $\Phi_n : U(A) \to A$ là một đồng cấu vành với mọi $n \in J$. d) Nếu nhóm cộng của A không có xoắn $\mathbf{Z}$, thì nhóm cộng của U(A) cũng không có xoắn này. e) Cho $q \in J$. Nếu phép nhân bởi $q$ là song ánh trong A, thì nó vẫn là song ánh trong U(A). (Dùng Bài tập 32, c), p. 51.)