Exercice 36, § 1

Soit A un anneau. Soient $n, m$ dans $J$ et $d = \operatorname{pgcd}(n, m)$. a) L’application $a \mapsto F_n(a) = (F_{n,r}(a))_{r \in J}$ est un endomorphisme de l’anneau U(A), et l’on a $F_n \circ F_m = F_{mn}$, $\Phi_n \circ F_m = \Phi_{nm}$. b) L’application $a \mapsto V_n(a) = (V_{n,r}(a))_{r \in J}$ est un endomorphisme du groupe additif de U(A), et l’on a $V_n \circ V_m = V_{nm}$. De plus, $\Phi_n \circ V_q$ est égal à 0 si $q$ ne divise pas $n$ et à $q \Phi_{n/q}$ si $q$ divise $n$. c) On a $F_n \circ V_m = d \times V_{m/d} \circ F_{n/d}$; autrement dit $F_n(V_m(a))$ (pour $a \in U(A)$) est somme dans U(A) de $d$ termes égaux à $V_{m/d}(F_{n/d}(a))$. En particulier, on a $F_n(V_n(a)) = n \times a$ et $F_n \circ V_m = V_m \circ F_n$ si $d = 1$. d) Quels que soient $a, b$ dans U(A), on a

En particulier, on a et si $d = 1$. (Se ramener au cas où $A = \mathbf{Z}[X, Y]$, $a = X$, $b = Y$ et utiliser l’exerc. 33, d), p. 51 et l’exerc. 28, p. 50.)

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