Bài tập 36, § 1

Cho $A$ là một vành. Cho $n, m$ thuộc $J$ và cho $d = \operatorname{pgcd}(n, m)$. a) Ánh xạ $a \mapsto F_n(a) = (F_{n,r}(a))_{r \in J}$ là một tự đồng cấu của vành U(A), và ta có $F_n \circ F_m = F_{mn}$, $\Phi_n \circ F_m = \Phi_{nm}$. b) Ánh xạ $a \mapsto V_n(a) = (V_{n,r}(a))_{r \in J}$ là một tự đồng cấu của nhóm cộng của U(A), và ta có $V_n \circ V_m = V_{nm}$. Hơn nữa, $\Phi_n \circ V_q$ bằng 0 nếu $q$ không chia hết $n$ và bằng $q \Phi_{n/q}$ nếu $q$ chia hết $n$. c) Ta có $F_n \circ V_m = d \times V_{m/d} \circ F_{n/d}$; nói cách khác $F_n(V_m(a))$ (với $a \in U(A)$) là tổng trong U(A) của $d$ số hạng bằng $V_{m/d}(F_{n/d}(a))$. Đặc biệt, ta có $F_n(V_n(a)) = n \times a$ và $F_n \circ V_m = V_m \circ F_n$ nếu $d = 1$. d) Với mọi $a, b$ trong U(A), ta có

Đặc biệt, ta có và nếu $d = 1$. (Rút gọn về trường hợp $A = \mathbf{Z}[X, Y]$, $a = X$, $b = Y$ và sử dụng Bài tập 33, d), p. 51 và Bài tập 28, p. 50.)

BÀI TẬP