Bourbaki

Exercice 37, § 1

Algèbre commutative, IX

Soit A un anneau. a) Soit m∈Jm \in \mathbf{J}. Pour tout élément a=(an)n∈Ja = (a_n)_{n \in \mathbf{J}} de U(A), on a

a=(a1,...,am,0,...,0,...)+(0,...,0⏟m termes,am+1,am+2,...). a = (a_1, ..., a_m, 0, ..., 0, ...) + (\underbrace{0, ..., 0}_{m \text{ termes}}, a_{m+1}, a_{m+2}, ...).
b) On munit U(A) de la topologie produit sur AJA^\mathbf{J} de la topologie discrète sur chacun des facteurs. Elle fait de U(A) un anneau topologique séparé et complet. c) On note τA\tau_A (ou τ\tau) l’application de A dans U(A) qui à a∈Aa \in A associe (a,0,...,0)∈U(A)(a, 0, ..., 0) \in U(A). Soient a,ba, b deux éléments de A, x=(xn)n∈Jx = (x_n)_{n \in \mathbf{J}} un élément de U(A). (i) On a les formules
τ(ab)=τ(a)×τ(b),τ(a)×x=(anxn)n∈J, \tau(ab) = \tau(a) \times \tau(b), \quad \tau(a) \times x = (a^n x_n)_{n \in \mathbf{J}},
Φ(τ(a))=(an)n∈J, \Phi(\tau(a)) = (a^n)_{n \in \mathbf{J}},
Fn(τ(a))=τ(an)pour tout n∈J. F_n(\tau(a)) = \tau(a^n) \quad \text{pour tout } n \in \mathbf{J}.
(ii) La série de terme général Vnτ(xn)V_n \tau(x_n) est convergente dans U(A), de somme x.

Solution

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Transcrit du volume imprimé. Non traduit.