Bourbaki

Bài tập 37, § 1

Đại số giao hoán, IX

Cho A là một vành. a) Cho m∈Jm \in \mathbf{J}. Với mọi phần tử a=(an)n∈Ja = (a_n)_{n \in \mathbf{J}} của U(A), ta có

a=(a1,...,am,0,...,0,...)+(0,...,0⏟m soˆˊ hạng,am+1,am+2,...). a = (a_1, ..., a_m, 0, ..., 0, ...) + (\underbrace{0, ..., 0}_{m \text{ số hạng}}, a_{m+1}, a_{m+2}, ...).
b) Ta trang bị cho U(A) tôpô tích trên AJA^\mathbf{J} của tôpô rời rạc trên mỗi nhân tử. Nó làm cho U(A) trở thành một vành tôpô tách và đầy đủ. c) Ta ký hiệu bởi τA\tau_A (hoặc τ\tau) ánh xạ từ A vào U(A) gán cho a∈Aa \in A phần tử (a,0,...,0)∈U(A)(a, 0, ..., 0) \in U(A). Cho a,ba, b là hai phần tử của A, x=(xn)n∈Jx = (x_n)_{n \in \mathbf{J}} là một phần tử của U(A). (i) Ta có các công thức
τ(ab)=τ(a)×τ(b),τ(a)×x=(anxn)n∈J, \tau(ab) = \tau(a) \times \tau(b), \quad \tau(a) \times x = (a^n x_n)_{n \in \mathbf{J}},
Φ(τ(a))=(an)n∈J, \Phi(\tau(a)) = (a^n)_{n \in \mathbf{J}},
Fn(τ(a))=τ(an)với mọi n∈J. F_n(\tau(a)) = \tau(a^n) \quad \text{với mọi } n \in \mathbf{J}.
(ii) Chuỗi có số hạng tổng quát Vnτ(xn)V_n \tau(x_n) hội tụ trong U(A), với tổng bằng x.

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.

Bản dịch máy từ tiếng Anh, bởi gpt-5-6. Chưa được người kiểm tra.