Exercice 39, § 1

Soit S une partie non vide de $\mathbf{J}$ telle que pour tout $n$ dans S, S contienne $\mathbf{J}_n$. Notons $\pi_S$ la projection canonique de $A^\mathbf{J}$ sur $A^S$. a) Le noyau de $\pi_S$ est un idéal de A. On notera $U_S(A)$ l’anneau obtenu en munissant $A^S$ de la structure d’anneau quotient. On a un diagramme commutatif d’homomorphismes d’anneaux

où $\Phi_S((a_n)_{n \in S}) = (\Phi_n((a_d)_{d \in \mathbf{J}_n}))_{n \in S}$.

b) Pour tout $n \in \mathbf{J}$, $\mathrm{Ker}(\pi_S)$ est stable par $V_n$, et $\mathrm{Ker}(\pi_S)$ contient $V_n(U(A))$ si $n \notin S$. Par passage au quotient $V_n$ définit un endomorphisme, encore noté $V_n$, du groupe additif de $U_S(A)$. c) Si $n \in \mathbf{J}$ et si $nS \subset S$ alors $\mathrm{Ker}(\pi_S)$ est stable par $F_n$, qui définit, par passage au quotient, un endomorphisme, encore noté $F_n$, de l’anneau $U_S(A)$. d) Soit $n \in \mathbf{J}$. L’anneau $U_S(A)$ se notera aussi $U_n(A)$ si $S = J_n$, et $U_{n^\infty}(A)$ si $S = \bigcup_{r \geq 1} J_{n^r}$.

Soit $p$ un nombre premier. Montrer que $U_{p^\infty}(A)$ s’identifie à l’anneau de Witt $W(A)$, et que, pour tout $n \in \mathbf{N}$, $U_{p^n}(A)$ s’identifie à l’anneau $W_{n+1}(A)$ (on identifiera l’élément $(u_1, u_p, u_{p^2}, ..., u_{p^{n-1}}, u_{p^n})$ de $U_{p^n}(A)$ au vecteur de Witt $[a_0, ..., a_n]$ avec $a_i = u_{p^i}$ pour $0 \leq i \leq n$). Les endomorphismes de groupes $V_p$ et $F_p$ de $U_{p^\infty}(A)$ correspondent respectivement, par cette identification, au décalage et à l’endomorphisme de Frobenius de $W(A)$.