Bài tập 39, § 1

Cho $S$ là một tập con khác rỗng của $\mathbf{J}$ sao cho với mọi $n$ trong S, S chứa $\mathbf{J}_n$. Gọi $\pi_S$ là phép chiếu chính tắc của $A^\mathbf{J}$ lên $A^S$. a) Hạt nhân của $\pi_S$ là một iđêan của A. Ta sẽ ký hiệu bởi $U_S(A)$ vành thu được bằng cách trang bị cho $A^S$ cấu trúc của vành thương. Ta có một biểu đồ giao hoán của các đồng cấu vành

trong đó $\Phi_S((a_n)_{n \in S}) = (\Phi_n((a_d)_{d \in \mathbf{J}_n}))_{n \in S}$.

b) Với mọi $n \in \mathbf{J}$, $\mathrm{Ker}(\pi_S)$ ổn định bởi $V_n$, và $\mathrm{Ker}(\pi_S)$ chứa $V_n(U(A))$ nếu $n \notin S$. Bằng cách chuyển qua thương, $V_n$ xác định một tự đồng cấu, vẫn được ký hiệu là $V_n$, của nhóm cộng của $U_S(A)$. c) Nếu $n \in \mathbf{J}$ và nếu $nS \subset S$ thì $\mathrm{Ker}(\pi_S)$ ổn định bởi $F_n$, là ánh xạ xác định, bằng cách chuyển qua thương, một tự đồng cấu, vẫn được ký hiệu là $F_n$, của vành $U_S(A)$. d) Cho $n \in \mathbf{J}$. Vành $U_S(A)$ cũng sẽ được ký hiệu là $U_n(A)$ nếu $S = J_n$, và là $U_{n^\infty}(A)$ nếu $S = \bigcup_{r \geq 1} J_{n^r}$.

Cho $p$ là một số nguyên tố. Bây giờ chứng minh rằng $U_{p^\infty}(A)$ được đồng nhất với vành Witt $W(A)$, và rằng, với mọi $n \in \mathbf{N}$, $U_{p^n}(A)$ được đồng nhất với vành $W_{n+1}(A)$ (phần tử $(u_1, u_p, u_{p^2}, ..., u_{p^{n-1}}, u_{p^n})$ của $U_{p^n}(A)$ sẽ được đồng nhất với vectơ Witt $[a_0, ..., a_n]$ với $a_i = u_{p^i}$ với $0 \leq i \leq n$). Các tự đồng cấu nhóm $V_p$ và $F_p$ của $U_{p^\infty}(A)$ tương ứng, qua sự đồng nhất này, lần lượt với phép dịch và tự đồng cấu Frobenius của $W(A)$.