Exercice 40, § 1

Soit $A$ un anneau. Soit $\mathbf{J} = P \times Q$ une décomposition du monoïde $J$ en produit de sous-monoïdes $P$ et $Q$ (qui sont donc engendrés par les nombres premiers qu’ils contiennent). On suppose que tout $q \in Q$ est inversible dans $A$, donc aussi dans $U(A)$ (p. 52, exerc. 35, e)). a) Pour tout $a \in U(A)$, la série

où $\mu$ désigne la fonction de Möbius (Lie, II, p. 71), est convergente pour la topologie produit de $U(A) = A^J$. On définit ainsi l’endomorphisme additif $\varepsilon_Q = \sum_{q \in Q} \frac{\mu(q)}{q} V_q F_q$ de $U(A)$. Pour tout $n \in \mathbf{J}$, l’application $\Phi_n \circ \varepsilon_Q$ de $U(A)$ dans $A$ est égale à 0 si $n \notin P$ et à $\Phi_n$ si $n \in P$. b) Pour tout $q \in Q, q \neq 1$, on a (Utiliser l’exerc. 36, c), p. 52.) c) Montrer que $\varepsilon_Q$ est un idempotent ayant pour image l’intersection des noyaux des $F_q$ ($q \in Q, q \neq 1$). Pour $m \in \mathbf{J}$ et $a \in A$, calculer $\varepsilon_Q V_m \tau(a)$. En déduire que le noyau de $\varepsilon_Q$ est l’ensemble des éléments de la forme $\sum_{n \in Q} V_n \tau(a_n)$, avec $a_n \in A$. Le sous-ensemble $\varepsilon_Q U(A)$ de $U(A)$ est stable par addition et multiplication. Muni de ces deux opérations, c’est un anneau commutatif, d’unité $\varepsilon_Q(1_{U(A)})$, et l’application $\varepsilon_Q : U(A) \to \varepsilon_Q U(A)$ est un homomorphisme d’anneaux. d) Pour tout $q \in Q$, posons $e_q = \frac{1}{q} V_q \varepsilon_Q F_q$. Montrer que l’on a $e_q^2 = e_q$ et $e_q e_{q'} = 0$ si $q \neq q'$, et que, pour tout $a \in U(A)$ on a où la somme est convergente pour la topologie produit de $U(A)$. (Pour () se ramener au cas où $a = X \in U(R[X])$, $R$ étant le sous-anneau de $Q$ formé des nombres rationnels à dénominateur dans $Q$. Il suffit alors d’appliquer $\Phi$ et de vérifier l’analogue de () dans $R[X]^J$ ce qui résulte de la formule $\Phi_{pq} \circ e_{q'} = \Phi_{pq} \delta_{qq'}$ si $p \in P, q \in Q, q' \in Q$. Le sous-ensemble $e_q U(A)$ de $U(A)$ est stable par addition et multiplication. Muni de ces deux opérations, c’est un anneau commutatif, d’unité $e_q(1_{U(A)})$ et l’application $e_q : U(A) \to e_q U(A)$ est un homomorphisme d’anneaux. e) Pour tout $q \in Q$, on a $F_q e_q = \varepsilon_Q F_q$ et $\left( \frac{1}{q} V_q \right) \varepsilon_Q = e_q \left( \frac{1}{q} V_q \right)$. En conclure que $a \mapsto \frac{1}{q} V_q(a)$ est un isomorphisme d’anneaux $e_q U(A) \to \varepsilon_Q U(A)$, d’inverse $a \mapsto \frac{1}{q} V_q(a)$. f) Montrer que la projection canonique $\pi_P : U(A) \to U_P(A)$ (exerc. 39) définit un isomorphisme d’anneaux $\varepsilon_Q U(A) \to U_P(A)$. En déduire un isomorphisme d’anneaux de $U(A)$ sur $U_P(A)^Q$ transformant $a$ en $(\pi_P \varepsilon_Q F_q(a))_{q \in Q}$ pour tout $a \in U(A)$. g) Si $A$ est une $\mathbf{Q}$-algèbre, on peut prendre $P = \{1\}$ et $Q = \mathbf{J}$. On déduit un isomorphisme d’anneaux $U(A) \to A^J$, qui n’est autre que $\Phi$.

h) Supposons que $P = \{ p^n | n \in \mathbf{N} \}$, où $p$ est un nombre premier. Ainsi tout nombre premier $q \neq p$ est inversible dans $A$. On obtient un isomorphisme d’anneaux $U(A) \to W(A)^Q$ (cf. exerc. 39, d)). On notera $\omega_A$ l’application de $W(A)$ dans $U(A)$, qui, par l’isomorphisme de $U(A)$ et $W(A)^Q$, correspond à l’inclusion de $W(A)$ dans $W(A)^Q$ selon la première composante.