Bài tập 40, § 1

Cho $A$ là một vành. Gọi $\mathbf{J} = P \times Q$ là một phân tích của monoid $J$ thành một tích của các monoid con $P$ và $Q$ (do đó chúng được sinh bởi các số nguyên tố mà chúng chứa). Giả sử rằng mọi $q \in Q$ đều khả nghịch trong $A$, do đó cũng khả nghịch trong $U(A)$ (p. 52, Bài tập 35, e)). a) Với mọi $a \in U(A)$, chuỗi

trong đó $\mu$ ký hiệu hàm Möbius (Lie, II, p. 71), hội tụ đối với tôpô tích của $U(A) = A^J$. Do đó ta định nghĩa tự đồng cấu cộng tính $\varepsilon_Q = \sum_{q \in Q} \frac{\mu(q)}{q} V_q F_q$ của $U(A)$. Với mọi $n \in \mathbf{J}$, ánh xạ $\Phi_n \circ \varepsilon_Q$ của $U(A)$ vào $A$ bằng 0 nếu $n \notin P$ và bằng $\Phi_n$ nếu $n \in P$. b) Với mọi $q \in Q, q \neq 1$, ta có (Sử dụng Bài tập 36, c), p. 52.) c) Bây giờ chứng minh rằng $\varepsilon_Q$ là một phần tử lũy đẳng có ảnh là giao của các hạt nhân của các $F_q$ ($q \in Q, q \neq 1$). Với $m \in \mathbf{J}$ và $a \in A$, hãy tính $\varepsilon_Q V_m \tau(a)$. Suy ra rằng hạt nhân của $\varepsilon_Q$ là tập hợp các phần tử có dạng $\sum_{n \in Q} V_n \tau(a_n)$, với $a_n \in A$. Tập con $\varepsilon_Q U(A)$ của $U(A)$ ổn định đối với phép cộng và phép nhân. Được trang bị hai phép toán này, nó là một vành giao hoán, với phần tử khả nghịch đơn vị $\varepsilon_Q(1_{U(A)})$, và ánh xạ $\varepsilon_Q : U(A) \to \varepsilon_Q U(A)$ là một đồng cấu vành. d) Với mọi $q \in Q$, đặt $e_q = \frac{1}{q} V_q \varepsilon_Q F_q$. Bây giờ chứng minh rằng ta có $e_q^2 = e_q$ và $e_q e_{q'} = 0$ nếu $q \neq q'$, và rằng, với mọi $a \in U(A)$ ta có trong đó tổng hội tụ đối với tôpô tích của $U(A)$. (Đối với (), rút gọn về trường hợp $a = X \in U(R[X])$, trong đó $R$ là vành con của $Q$ gồm các số hữu tỉ có mẫu thuộc $Q$. Khi đó chỉ cần áp dụng $\Phi$ và kiểm tra dạng tương tự của () trong $R[X]^J$, điều này suy ra từ công thức $\Phi_{pq} \circ e_{q'} = \Phi_{pq} \delta_{qq'}$ nếu $p \in P, q \in Q, q' \in Q$. Tập con $e_q U(A)$ của $U(A)$ ổn định đối với phép cộng và phép nhân. Được trang bị hai phép toán này, nó là một vành giao hoán, với phần tử khả nghịch đơn vị $e_q(1_{U(A)})$ và ánh xạ $e_q : U(A) \to e_q U(A)$ là một đồng cấu vành. e) Với mọi $q \in Q$, ta có $F_q e_q = \varepsilon_Q F_q$ và $\left( \frac{1}{q} V_q \right) \varepsilon_Q = e_q \left( \frac{1}{q} V_q \right)$. Kết luận rằng $a \mapsto \frac{1}{q} V_q(a)$ là một đẳng cấu vành $e_q U(A) \to \varepsilon_Q U(A)$, với ánh xạ ngược là $a \mapsto \frac{1}{q} V_q(a)$. f) Bây giờ chứng minh rằng phép chiếu chính tắc $\pi_P : U(A) \to U_P(A)$ (Bài tập 39) xác định một đẳng cấu vành $\varepsilon_Q U(A) \to U_P(A)$. Suy ra một đẳng cấu vành của $U(A)$ lên $U_P(A)^Q$ biến $a$ thành $(\pi_P \varepsilon_Q F_q(a))_{q \in Q}$ với mọi $a \in U(A)$. g) Nếu $A$ là một $\mathbf{Q}$-đại số, ta có thể lấy $P = \{1\}$ và $Q = \mathbf{J}$. Suy ra một đẳng cấu vành $U(A) \to A^J$, đó chính là $\Phi$.

h) Giả sử rằng $P = \{ p^n | n \in \mathbf{N} \}$, trong đó $p$ là một số nguyên tố. Khi đó mọi số nguyên tố $q \neq p$ đều khả nghịch trong $A$. Ta thu được một đẳng cấu vành $U(A) \to W(A)^Q$ (xem Bài tập 39, d)). Ta sẽ ký hiệu $\omega_A$ là ánh xạ của $W(A)$ vào $U(A)$, ánh xạ này, qua đẳng cấu của $U(A)$ và $W(A)^Q$, tương ứng với phép nhúng của $W(A)$ vào $W(A)^Q$ theo thành phần thứ nhất.