Exercice 41, § 1

Soit $A$ un anneau. a) Soit $\mu : A \to U(A)$ un homomorphisme d’anneaux tel que $\Phi_1 \circ \mu = \mathrm{Id}_A$. Posons $\sigma = \Phi \circ \mu$ et $\sigma(a) = (\sigma_n(a))_{n \in J}$ pour $a \in A$. Les applications $\sigma_n : A \to A$ ($n \in J$) satisfont aux conditions suivantes : (1) $\sigma_n$ est un homomorphisme d’anneaux pour tout $n \in J$, et $\sigma_1 = \mathrm{Id}_A$. (2) Pour tout nombre premier $p$ et pour tout $a \in A$, on a $\sigma_p(a) \equiv a^p \mod. pA$ et

b) Supposons que le groupe additif de $A$ soit sans $\mathbf{Z}$-torsion. Soit $\sigma = (\sigma_n)_{n \in J}$ une famille d’applications $\sigma_n : A \to A$ satisfaisant aux conditions (1) et (2) de $a$. Il existe un unique homomorphisme d’anneaux $\mu : A \to U(A)$ tel que $\Phi_1 \circ \mu = \mathrm{Id}_A$ et $\Phi \circ \mu = \sigma$. (Appliquer les exerc. 32 et 33, d), p. 51.) c) Supposons que le groupe additif de $A$ soit sans $\mathbf{Z}$-torsion. Il existe un unique homomorphisme d’anneaux tel que $\Phi^{U(A)} \circ \mu^A$ soit l’application définie par $F^A(a) = (F_n(a))_{n \in J}$. (Se ramener au cas où $A = \mathbf{Z}[X]$. Appliquer $b$ et les exerc. 36 et 38, b), p. 52 et 53.) d) Soit $X = (X_n)_{n \in J}$ une famille d’indéterminées considérée comme élément de $U(\mathbf{Z}[X])$. Posons où $\mu_{n,m}(X) \in \mathbf{Z}[X]$ pour $n, m$ dans $J$. Pour tout anneau $A$ définissons $\mu^A : U(A) \to U(U(A))$ par $\mu^A(a) = ((\mu_{n,m}(a))_{m \in J})_{n \in J}$. Montrer que $\mu^A$ est un homomorphisme d’anneaux tel que le diagramme suivant soit commutatif

(1)

Ici par définition, $f^A(a) = (f_n(a))_{n \in J}$ pour $a \in A^J$, et $\Phi^A$ (resp. $\Phi^{U(A)}$) est l’homomorphisme $\Phi$ associé à l’anneau $A$ (resp. $U(A)$). e) Pour tout homomorphisme d’anneaux $\rho : B \to A$ le diagramme

est commutatif.

f) Montrer que le diagramme suivant est commutatif

(Se ramener au cas où $A = \mathbf{Q}[X]$. Alors $A$ est une $\mathbf{Q}$-algèbre, donc $\Phi^A : U(A) \to A^J$ est un isomorphisme et $U(A)$ est également une $\mathbf{Q}$-algèbre. Si, à l’aide du diagramme (1) et par transport de structure, on remplace $\mu^A$ par $f^A$ lorsque $A$ est une $\mathbf{Q}$-algèbre, on est ramené à démontrer la commutativité du diagramme

On a

et

g) Pour tout $a \in A$, on a

h) On a le diagramme commutatif suivant

où l’application $s_A$ est celle définie à l’exerc. 15, p. 44, où l’application $\varphi$ de $U(A)$ dans $W(A)$ est obtenue par identification de $W(A)$ et $U_{p^\infty}(A)$ (p. 53, exerc. 39), et l’application $\psi$ est composée de $U(\varphi)$ et de l’application de $U(W(A))$ dans $W(W(A))$ obtenue par identification de $W(W(A))$ à $U_{p^\infty}(W(A))$.