Bài tập 41, § 1

Cho $A$ là một vành. a) Cho $\mu : A \to U(A)$ là một đồng cấu vành sao cho $\Phi_1 \circ \mu = \mathrm{Id}_A$. Đặt $\sigma = \Phi \circ \mu$ và $\sigma(a) = (\sigma_n(a))_{n \in J}$ với $a \in A$. Các ánh xạ $\sigma_n : A \to A$ ($n \in J$) thỏa mãn các điều kiện sau: (1) $\sigma_n$ là một đồng cấu vành với mọi $n \in J$, và $\sigma_1 = \mathrm{Id}_A$. (2) Với mọi số nguyên tố $p$ và mọi $a \in A$, ta có $\sigma_p(a) \equiv a^p \mod. pA$ và

b) Giả sử nhóm cộng của $A$ không có xoắn $\mathbf{Z}$. Cho $\sigma = (\sigma_n)_{n \in J}$ là một họ các ánh xạ $\sigma_n : A \to A$ thỏa mãn các điều kiện (1) và (2) của a. Tồn tại duy nhất một đồng cấu vành $\mu : A \to U(A)$ sao cho $\Phi_1 \circ \mu = \mathrm{Id}_A$ và $\Phi \circ \mu = \sigma$. (Áp dụng các Bài tập 32 và 33, d), p. 51.) c) Giả sử nhóm cộng của $A$ không có xoắn $\mathbf{Z}$. Tồn tại duy nhất một đồng cấu vành sao cho $\Phi^{U(A)} \circ \mu^A$ là ánh xạ được định nghĩa bởi $F^A(a) = (F_n(a))_{n \in J}$. (Rút gọn về trường hợp $A = \mathbf{Z}[X]$. Áp dụng b và các Bài tập 36 và 38, b), p. 52 và 53.) d) Cho $X = (X_n)_{n \in J}$ là một họ các bất định được xem như một phần tử của $U(\mathbf{Z}[X])$. Đặt trong đó $\mu_{n,m}(X) \in \mathbf{Z}[X]$ với $n, m$ thuộc $J$. Với mọi vành $A$, định nghĩa $\mu^A : U(A) \to U(U(A))$ bởi $\mu^A(a) = ((\mu_{n,m}(a))_{m \in J})_{n \in J}$. Bây giờ chứng minh rằng $\mu^A$ là một đồng cấu vành sao cho biểu đồ sau giao hoán

(1)

Ở đây theo định nghĩa, $f^A(a) = (f_n(a))_{n \in J}$ với $a \in A^J$, và $\Phi^A$ (tương ứng $\Phi^{U(A)}$) là đồng cấu $\Phi$ liên kết với vành $A$ (tương ứng $U(A)$). e) Với mọi đồng cấu vành $\rho : B \to A$ biểu đồ

là giao hoán.

f) Bây giờ chứng minh rằng biểu đồ sau là giao hoán

(Rút gọn về trường hợp $A = \mathbf{Q}[X]$. Khi đó $A$ là một $\mathbf{Q}$-đại số, do đó $\Phi^A : U(A) \to A^J$ là một đẳng cấu và $U(A)$ cũng là một $\mathbf{Q}$-đại số. Nếu, với sự trợ giúp của biểu đồ (1) và bằng phép chuyển cấu trúc, ta thay $\mu^A$ bởi $f^A$ khi $A$ là một $\mathbf{Q}$-đại số, ta được rút gọn về việc chứng minh tính giao hoán của biểu đồ

Ta có

và

g) Với mọi $a \in A$, ta có

h) Ta có biểu đồ giao hoán sau

trong đó ánh xạ $s_A$ là ánh xạ được định nghĩa trong Bài tập 15, p. 44, trong đó ánh xạ $\varphi$ từ $U(A)$ vào $W(A)$ thu được bằng cách đồng nhất $W(A)$ và $U_{p^\infty}(A)$ (p. 53, Bài tập 39), và ánh xạ $\psi$ là hợp thành của $U(\varphi)$ và ánh xạ từ $U(W(A))$ vào $W(W(A))$ thu được bằng cách đồng nhất $W(W(A))$ với $U_{p^\infty}(W(A))$.