Exercice 42, § 1

Algèbre commutative, IX, p. 56

Soient $A$ un anneau et $T$ une indéterminée. On note $\Lambda(A)$ (ou $\Lambda_T(A)$ ) l’ensemble $1 + TA[[T]]$ des séries formelles à coefficients dans $A$ de terme constant égal à 1 ; c’est un sous-groupe du groupe multiplicatif de $A[[T]]$ . On définit

L : \Lambda(A) \to A^J , \quad L(f) = (L_n(f))_{n \in J} ,

par

- T \frac{df}{dT}/f = \sum_{n \in J} L_n(f)(-T)^n .

a) Montrer que l’on a $L(fg) = L(f) + L(g)$ quels que soient $f, g \in \Lambda(A)$ .

b) Si $A$ est une $\mathbf{Q}$ -algèbre, alors $L$ est bijectif, son inverse $\varepsilon$ étant donné par

\varepsilon(a) = \exp(- \sum_{n \in J} \frac{a_n}{n} (-T)^n)

pour

a \in A^J

Solution

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