Exercice 43, § 1

Soit $E : U(A) \to \Lambda(A)$ l’application définie par

pour $a \in U(A)$. a) Démontrer la commutativité du diagramme

En déduire que si $A$ est une $\mathbf{Q}$-algèbre, on a

quel que soit $a \in U(A)$. b) Montrer que $E$ est bijectif. (Si l’on pose $\prod_{n \in J} (1 - a_n(-T)^n) = \sum_{n \geq 0} c_n(a)(-T)^n$, il suffit d’appliquer l’exerc. 33, a), p. 51 à la famille de polynômes $c_n(X)$ de $\mathbf{Z}[X]$.) c) On munit $\Lambda(A)$ de l’unique structure d’anneau telle que $E$ soit un isomorphisme d’anneaux. Montrer que l’addition de $\Lambda(A)$ est la multiplication des séries, d’élément neutre 1. La multiplication de l’anneau $\Lambda(A)$ notée $(f, g) \mapsto f * g$, est définie par la formule quels que soient $a, b \in U(A)$; son élément neutre est $1 + T$. d) Soit $\tau : A \to U(A)$ l’application définie dans l’exerc. 37, c), p. 53. On a quels que soient $a, b$ dans $A$ et $f(T)$ dans $\Lambda(A)$. e) Soient $f$ et $g$ deux éléments de $\Lambda(A)$ qui soient des polynômes en $T$, et soit $m$ le degré de $f$. Posons et Ce sont des polynômes en $X$ à coefficients dans $A[T]$; $\varphi$ est unitaire et $f * g$ est le résultant $\operatorname{res}(\varphi, \gamma)$ des polynômes $\varphi$ et $\gamma$ (cf. A, IV, p. 75). (On pourra partir de la formule en déduire le résultat si $A = \mathbf{Z}[X_1, ..., X_m]$ et $f = \prod_{i=1}^m (1 + X_i T)$, et passer de là au cas général.)