Bài tập 43, § 1

Cho $E : U(A) \to \Lambda(A)$ là ánh xạ được xác định bởi

với $a \in U(A)$. a) Chứng minh tính giao hoán của biểu đồ

Suy ra rằng nếu $A$ là một $\mathbf{Q}$-đại số, ta có

với mọi $a \in U(A)$. b) Bây giờ chứng minh rằng $E$ là song ánh. (Nếu đặt $\prod_{n \in J} (1 - a_n(-T)^n) = \sum_{n \geq 0} c_n(a)(-T)^n$, thì chỉ cần áp dụng Bài tập 33, a), p. 51 cho họ các đa thức $c_n(X)$ trong $\mathbf{Z}[X]$.) c) Trang bị cho $\Lambda(A)$ cấu trúc vành duy nhất sao cho $E$ là một đẳng cấu vành. Bây giờ chứng minh rằng phép cộng của $\Lambda(A)$ là phép nhân của các chuỗi, với phần tử đơn vị là 1. Phép nhân của vành $\Lambda(A)$, ký hiệu $(f, g) \mapsto f * g$, được xác định bởi công thức với mọi $a, b \in U(A)$; phần tử đơn vị của nó là $1 + T$. d) Cho $\tau : A \to U(A)$ là ánh xạ được xác định trong Bài tập 37, c), p. 53. Ta có với mọi $a, b$ trong $A$ và $f(T)$ trong $\Lambda(A)$. e) Cho $f$ và $g$ là hai phần tử của $\Lambda(A)$ là các đa thức theo $T$, và cho $m$ là bậc của $f$. Đặt và Đây là các đa thức theo $X$ với các hệ số trong $A[T]$; $\varphi$ là monic và $f * g$ là kết quả thức $\operatorname{res}(\varphi, \gamma)$ của các đa thức $\varphi$ và $\gamma$ (xem A, IV, p. 75). (Bắt đầu từ công thức ta có thể suy ra kết quả nếu $A = \mathbf{Z}[X_1, ..., X_m]$ và $f = \prod_{i=1}^m (1 + X_i T)$, rồi chuyển từ đó sang trường hợp tổng quát.)