Exercice 44, § 1

Soit A un anneau. a) L’ensemble $\hat{U}(A)$ des éléments de $U(A)$ à coordonnées nilpotentes, nulles sauf un nombre fini d’entre elles, est un idéal de l’anneau $U(A)$. Pour tout $n \in J$, il est stable par $F_n$ et $V_n$. b) Soit $a \in \hat{U}(A)$. Alors l’élément $E(a)$ de $\Lambda(A)$ est un polynôme en T. Sa valeur en $-1$ est un élément inversible de A, qui est aussi, pour tout $n \in J$, la valeur en $-1$ du polynôme $E(V_n a)$. c) Si $a \in U(A)$ et $b \in \hat{U}(A)$, on note $\langle a, b \rangle$ la valeur en $-1$ du polynôme $E(ab)$. On définit ainsi une application $\mathbf{Z}$-bilinéaire de $U(A) \times \hat{U}(A)$ dans $A^*$ et on a