Exercice 45, § 1

Par pré-$\lambda$-anneau on entend un anneau A muni d’applications $\lambda_n : A \to A$ ($n \in \mathbf{N}$) telles que (i) $\lambda_0(a) = 1$, (ii) $\lambda_1(a) = a$, (iii) $\lambda_n(a + b) = \sum_{p=0}^n \lambda_p(a) \lambda_{n-p}(b)$, quels que soient $a, b$ dans A. Les conditions (i) et (iii) s’expriment également en disant que

définit un homomorphisme du groupe additif de A dans le groupe multiplicatif $\Lambda(A)$.

Par $\lambda$-morphismes d’un pré-$\lambda$-anneau A dans un autre B, on entend un homomorphisme $\rho : A \to B$ d’anneaux tel que $\rho(\lambda_n(a)) = \lambda_n(\rho(a))$ quels que soient $a \in A, n \in \mathbf{N}$, autrement dit tel que le diagramme

soit commutatif (l’application $\Lambda(\rho)$ transforme la série $1 + \sum_{n \geq 1} a_n T^n$ en la série $1 + \sum_{n \geq 1} \rho(a_n) T^n$).

Soit A un anneau. Nous nous proposons de munir $\Lambda(A)$ d’une structure de pré-$\lambda$-anneau. Notons $E^A : U(A) \to \Lambda_T(A)$ l’isomorphisme d’anneaux défini dans l’exerc. 43. Soit S une autre indéterminée. a) Montrer que les deux isomorphismes composés

et coïncident ; on les notera $\tilde{E}^A$. On définit l’application $\lambda^A$ par la commutativité du diagramme

où $\mu^A$ désigne l’homomorphisme défini dans l’exerc. 41, d), p. 55.

EXERCICES

AC IX. 59

b) L’anneau $\Lambda(A)$, muni de $\lambda^A$, est un pré-$\lambda$-anneau. Pour tout homomorphisme d’anneaux $\rho : A \to B, \Lambda(\rho) : \Lambda(A) \to \Lambda(B)$ est un $\lambda$-morphisme. c) Un pré-$\lambda$-anneau $A$ s’appelle un $\lambda$-anneau si $\lambda : A \to \Lambda(A)$ est un $\lambda$-morphisme (pour la structure de pré-$\lambda$-anneau sur $\Lambda(A)$ qu’on vient de définir). Soit $A$ un anneau. Montrer que $(\Lambda(A), \lambda^A)$ est un $\lambda$-anneau. (Utiliser l’exerc. 41, f), p. 56.)