Bài tập 45, § 1

Một vành tiền-$\lambda$ được hiểu là một vành A được trang bị các ánh xạ $\lambda_n : A \to A$ ($n \in \mathbf{N}$) sao cho (i) $\lambda_0(a) = 1$, (ii) $\lambda_1(a) = a$, (iii) $\lambda_n(a + b) = \sum_{p=0}^n \lambda_p(a) \lambda_{n-p}(b)$, với mọi $a, b$ trong A. Các điều kiện (i) và (iii) cũng có thể được biểu diễn bằng cách nói rằng

xác định một đồng cấu từ nhóm cộng của A vào nhóm nhân $\Lambda(A)$.

Các cấu xạ $\lambda$ từ một vành tiền-$\lambda$ A vào một vành khác B được hiểu là một đồng cấu vành $\rho : A \to B$ sao cho $\rho(\lambda_n(a)) = \lambda_n(\rho(a))$ với mọi $a \in A, n \in \mathbf{N}$, hay nói cách khác sao cho biểu đồ

là giao hoán (ánh xạ $\Lambda(\rho)$ biến chuỗi $1 + \sum_{n \geq 1} a_n T^n$ thành chuỗi $1 + \sum_{n \geq 1} \rho(a_n) T^n$).

Cho A là một vành. Ta đề nghị trang bị cho $\Lambda(A)$ một cấu trúc vành tiền-$\lambda$. Gọi $E^A : U(A) \to \Lambda_T(A)$ là đẳng cấu vành được xác định trong Bài tập 43. Gọi S là một phần tử bất định khác. a) Chứng minh rằng hai đẳng cấu hợp thành

và trùng nhau; chúng sẽ được ký hiệu là $\tilde{E}^A$. Ánh xạ $\lambda^A$ được xác định bởi tính giao hoán của biểu đồ

trong đó $\mu^A$ ký hiệu đồng cấu được xác định trong Bài tập 41, d), p. 55.

BÀI TẬP

AC IX. 59

b) Vành $\Lambda(A)$, được trang bị $\lambda^A$, là một vành tiền-$\lambda$. Với mọi đồng cấu vành $\rho : A \to B, \Lambda(\rho) : \Lambda(A) \to \Lambda(B)$ là một cấu xạ $\lambda$. c) Một vành tiền-$\lambda$ $A$ được gọi là một vành $\lambda$ nếu $\lambda : A \to \Lambda(A)$ là một cấu xạ $\lambda$ (đối với cấu trúc vành tiền-$\lambda$ trên $\Lambda(A)$ vừa được xác định). Cho $A$ là một vành. Chứng minh rằng $(\Lambda(A), \lambda^A)$ là một vành $\lambda$. (Dùng Bài tập 41, f), p. 56.)