Exercice 46, § 1

a) Soient $A$ un pré-$\lambda$-anneau et $a \in A$. On appelle $\lambda$-rang de $a$ la borne supérieure dans $\overline{\mathbf{R}}$ de l’ensemble des entiers $n \in \mathbf{N}$ tels que $\lambda_n(a) \neq 0$. Soit $P$ une partie multiplicative de $A$ formée d’éléments de $\lambda$-rang $\leq 1$. Soit $a = \sum_{i \in I} a_i$ la somme d’une famille finie d’éléments de $P$. On a

b) Soient $A$ un anneau et $a, b$ des éléments de $A$. Alors dans $\Lambda(A)$ les éléments $1 + aT$ et $(1 + aT) * (1 + bT) = 1 + abT$ sont de $\lambda$-rang $\leq 1$. c) Soit $A$ un pré-$\lambda$-anneau. Supposons qu’il existe un sous-monoïde multiplicatif de $A$, formé d’éléments de $\lambda$-rang $\leq 1$, qui engendre le groupe additif de $A$. Montrer que $A$ est alors un $\lambda$-anneau. Plus généralement, $A$ est un $\lambda$-anneau s’il existe un $\lambda$-morphisme injectif de $A$ dans un pré-$\lambda$-anneau satisfaisant à la propriété précédente (« Principe de scindage »). (Il s’agit de montrer que l’application $Z$-bilinéaire $(a, b) \mapsto \lambda(a) * \lambda(b) \lambda(ab)^{-1}$ est nulle et que les applications $Z$-linéaires $a \mapsto \Lambda_S(\lambda_T)[\lambda_S(a)]$ et $a \mapsto \lambda^A_S(\lambda_T(a))$ de $A$ dans $\Lambda_S(\Lambda_T(A))$ coïncident. Il suffit de vérifier ces propriétés pour $a, b \in P$.) d) Soit $A = \mathbf{Z}[(X_i)_{i \in I}, (X'_i)_{i' \in I'}]$ l’anneau des polynômes en deux familles finies d’indéterminées. On a où $\binom{I}{n}$ désignant l’ensemble des parties à $n$ éléments de $I$, et où $X_H = \prod_{h \in H} X_h$. En affectant les $X_i$ (et $X'_{i'}$) du poids 1, $s_n$ est homogène de poids $n$. Tout polynôme symétrique en $(X_i)_{i \in I}$ s’exprime de façon unique comme polynôme en les $s_n$ ($n \geq 1$) (A, IV, p. 58). En particulier, pour tout $m \geq 0$, on a où $Q_{n,m}$ est homogène de poids $nm$ en les $s_r = s_r((X_i)_{i \in I})$ ($r = 1, ..., nm$). C’est le coefficient de $T^m$ dans $\prod_{H \in \binom{I}{n}} (1 + X_H T)$, et il est bien défini et indépendant de $I$, pourvu que $\mathrm{Card}(I) \geq nm$. Le coefficient de $T^n$ dans $\prod_{(i, i') \in I \times I'} (1 + X_i X'_{i'} T)$ est où $s'_r = s_r((X'_{i'})_{i' \in I'})$, et où $P_n$ est homogène de poids $n$ en chacune des familles de variables $(s_r)$ et $(s'_r)$. Il est bien défini et indépendant de $I$ et $I'$ pourvu que $I$ et $I'$ soient de cardinaux $\geq n$. Montrer que dans le $\lambda$-anneau $\Lambda(A)$ on a et D’après a) et b), on a

et

et

e) Soit $A$ un pré-$\lambda$-anneau. Pour que $A$ soit un $\lambda$-anneau, il faut et il suffit que les conditions suivantes soient satisfaites, quels que soient $a, b$ dans $A$, et $n, m$ dans $\mathbf{N}$. (i) $\lambda(1) = 1 + T$, (ii) $\lambda_n(ab) = P_n(\lambda_1(a), ..., \lambda_n(a), \lambda_1(b), ..., \lambda_n(b))$, (iii) $\lambda_m(\lambda_n(a)) = Q_{n,m}(\lambda_1(a), ..., \lambda_{nm}(a))$.

f) Soit $\rho : A \to B$ un $\lambda$-morphisme de pré-$\lambda$-anneaux. Si $A$ est un $\lambda$-anneau et $\rho$ surjectif, alors $B$ est un $\lambda$-anneau. Si $B$ est un $\lambda$-anneau et si $\rho$ est injectif, alors $A$ est un $\lambda$-anneau.