Bài tập 46, § 1

(a) Cho $A$ là một vành tiền-$\lambda$ và $a \in A$. Ta gọi $\lambda$-hạng của $a$ là cận trên trong $\overline{\mathbf{R}}$ của tập hợp các số nguyên $n \in \mathbf{N}$ sao cho $\lambda_n(a) \neq 0$. Cho $P$ là một tập con nhân của $A$ được tạo thành bởi các phần tử có $\lambda$-hạng $\leq 1$. Cho $a = \sum_{i \in I} a_i$ là tổng của một họ hữu hạn các phần tử của $P$. Ta có

(b) Cho $A$ là một vành và $a, b$ là các phần tử của $A$. Khi đó trong $\Lambda(A)$ các phần tử $1 + aT$ và $(1 + aT) * (1 + bT) = 1 + abT$ có $\lambda$-hạng $\leq 1$. (c) Cho $A$ là một vành tiền-$\lambda$. Giả sử tồn tại một monoid con nhân của $A$, được tạo thành bởi các phần tử có $\lambda$-hạng $\leq 1$, sinh ra nhóm cộng của $A$. Bây giờ chứng minh rằng $A$ khi đó là một vành $\lambda$. Tổng quát hơn, $A$ là một vành $\lambda$ nếu tồn tại một cấu xạ $\lambda$ đơn ánh của $A$ vào một vành tiền-$\lambda$ thỏa mãn tính chất trước đó (“Nguyên lý tách”). (Điều này quy về việc chứng minh rằng ánh xạ song tuyến tính trên $\mathbf{Z}$ $(a, b) \mapsto \lambda(a) * \lambda(b) \lambda(ab)^{-1}$ là không và rằng các ánh xạ tuyến tính trên $\mathbf{Z}$ $a \mapsto \Lambda_S(\lambda_T)[\lambda_S(a)]$ và $a \mapsto \lambda^A_S(\lambda_T(a))$ từ $A$ vào $\Lambda_S(\Lambda_T(A))$ trùng nhau. Chỉ cần kiểm tra các tính chất này đối với $a, b \in P$.) (d) Cho $A = \mathbf{Z}[(X_i)_{i \in I}, (X'_i)_{i' \in I'}]$ là vành các đa thức theo hai họ hữu hạn các phần tử bất định. Ta có trong đó $\binom{I}{n}$ ký hiệu tập hợp các tập con có $n$ phần tử của $I$, và trong đó $X_H = \prod_{h \in H} X_h$. Gán cho các $X_i$ (và $X'_{i'}$) trọng số 1, $s_n$ là thuần nhất có trọng số $n$. Mọi đa thức đối xứng theo $(X_i)_{i \in I}$ đều được biểu diễn duy nhất như một đa thức theo các $s_n$ ($n \geq 1$) (A, IV, p. 58). Đặc biệt, với mọi $m \geq 0$, ta có trong đó $Q_{n,m}$ là thuần nhất có trọng số $nm$ theo các $s_r = s_r((X_i)_{i \in I})$ ($r = 1, ..., nm$). Nó là hệ số của $T^m$ trong $\prod_{H \in \binom{I}{n}} (1 + X_H T)$, và được xác định tốt và độc lập với $I$, với điều kiện rằng $\mathrm{Card}(I) \geq nm$. Hệ số của $T^n$ trong $\prod_{(i, i') \in I \times I'} (1 + X_i X'_{i'} T)$ là trong đó $s'_r = s_r((X'_{i'})_{i' \in I'})$, và trong đó $P_n$ là thuần nhất có trọng số $n$ trong mỗi họ các biến $(s_r)$ và $(s'_r)$. Nó được xác định tốt và độc lập với $I$ và $I'$ với điều kiện rằng $I$ và $I'$ có lực lượng $\geq n$. Bây giờ chứng minh rằng trong vành $\lambda$ $\Lambda(A)$ ta có và Theo a) và b), ta có

và

và

e) Cho $A$ là một vành tiền-$\lambda$. Để $A$ là một vành-$\lambda$, điều kiện cần và đủ là các điều kiện sau được thỏa mãn với mọi $a, b$ trong $A$, và $n, m$ trong $\mathbf{N}$. (i) $\lambda(1) = 1 + T$, (ii) $\lambda_n(ab) = P_n(\lambda_1(a), ..., \lambda_n(a), \lambda_1(b), ..., \lambda_n(b))$, (iii) $\lambda_m(\lambda_n(a)) = Q_{n,m}(\lambda_1(a), ..., \lambda_{nm}(a))$.

f) Cho $\rho : A \to B$ là một cấu xạ $\lambda$ của các vành tiền-$\lambda$. Nếu $A$ là một vành-$\lambda$ và $\rho$ là toàn ánh, thì $B$ là một vành-$\lambda$. Nếu $B$ là một vành-$\lambda$ và $\rho$ là đơn ánh, thì $A$ là một vành-$\lambda$.