Exercice 50, § 1

Soit A un pré-$\lambda$-anneau. Par $\lambda$-idéal de A on entend un idéal $a$ de A tel que $\lambda_n(a) \subset a$ pour tout $n \in J$.

a) Soit $a$ un $\lambda$-idéal de A. Montrer qu’il existe une unique structure $\lambda : A/a \to \Lambda(A/a)$ de pré-$\lambda$-anneau sur $A/a$ telle que la projection canonique $A \to A/a$ soit un $\lambda$-morphisme.

b) Les $\lambda$-idéaux de A sont précisément les noyaux des $\lambda$-morphismes de A dans d’autres pré-$\lambda$-anneaux.

c) Soit $(a_i)_{i \in I}$ une famille de $\lambda$-idéaux de A. Alors $\bigcap a_i$ et $\sum a_i$ sont des $\lambda$-idéaux de A.

d) Soit A un $\lambda$-anneau. Si $a$ et $a'$ sont des $\lambda$-idéaux de A, alors $aa'$ est un $\lambda$-idéal.

e) Soit A un $\lambda$-anneau et soit $a \in A$. L’idéal $a$ de A engendré par $a, \lambda_2(a), \lambda_3(a), ...$ est un $\lambda$-idéal.