Bài tập 50, § 1

Cho A là một vành pre-$\lambda$. Một $\lambda$-iđêan của A được hiểu là một iđêan $a$ của A sao cho $\lambda_n(a) \subset a$ với mọi $n \in J$.

a) Cho $a$ là một $\lambda$-iđêan của A. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một cấu trúc vành pre-$\lambda$ duy nhất $\lambda : A/a \to \Lambda(A/a)$ trên $A/a$ sao cho phép chiếu chính tắc $A \to A/a$ là một cấu xạ $\lambda$.

b) Các $\lambda$-iđêan của A chính xác là các hạt nhân của các cấu xạ $\lambda$ từ A vào các vành pre-$\lambda$ khác.

c) Cho $(a_i)_{i \in I}$ là một họ các $\lambda$-iđêan của A. Khi đó $\bigcap a_i$ và $\sum a_i$ là các $\lambda$-iđêan của A.

d) Cho A là một $\lambda$-vành. Nếu $a$ và $a'$ là các $\lambda$-iđêan của A, thì $aa'$ là một $\lambda$-iđêan.

e) Cho A là một $\lambda$-vành và cho $a \in A$. Iđêan $a$ của A sinh bởi $a, \lambda_2(a), \lambda_3(a), ...$ là một $\lambda$-iđêan.