Exercice 51, § 1

Soit $A$ un $\lambda$-anneau et soit $(X_i)_{i \in I}$ une famille d’indéterminées. Introduisons la famille d’indéterminées $(\lambda_n X_i)_{(n,i) \in J \times I}$ telle que $\lambda_1 X_i = X_i$ quel que soit $i \in I$. Considérons l’algèbre de polynômes $B = A[(\lambda_n X_i)_{(n,i) \in J \times I}]$.

L’homomorphisme d’anneaux $\lambda : A \to \Lambda(A) \subset \Lambda(B)$ se prolonge de façon unique en un homomorphisme d’anneaux $\lambda : B \to \Lambda(B)$ tel que

et, pour $q \geq 2$,

a) Montrer que $(B, \lambda)$ est un $\lambda$-anneau. (Il s’agit de montrer que le diagramme d’homomorphismes d’anneaux

est commutatif. Il suffit de le vérifier sur un système générateur de l’anneau $B$.)

b) Soient $C$ un $\lambda$-anneau, $\rho : A \to C$ un $\lambda$-morphisme, et $(c_i)_{i \in I}$ une famille d’éléments de $C$. Il existe un et un seul $\lambda$-morphisme $\rho' : B \to C$ prolongeant $\rho$ et tel que $\rho'(X_i) = c_i$ pour tout $i \in I$.