Bài tập 51, § 1

Cho $A$ là một vành $\lambda$ và $(X_i)_{i \in I}$ là một họ các bất định. Đưa vào họ các bất định $(\lambda_n X_i)_{(n,i) \in J \times I}$ sao cho $\lambda_1 X_i = X_i$ với mọi $i \in I$. Xét đại số đa thức $B = A[(\lambda_n X_i)_{(n,i) \in J \times I}]$.

Đồng cấu vành $\lambda : A \to \Lambda(A) \subset \Lambda(B)$ được mở rộng duy nhất thành một đồng cấu vành $\lambda : B \to \Lambda(B)$ sao cho

và, với $q \geq 2$,

a) Bây giờ chứng minh rằng $(B, \lambda)$ là một vành $\lambda$. (Điều cần chứng minh là biểu đồ các đồng cấu vành

là giao hoán. Chỉ cần kiểm tra điều này trên một hệ sinh của vành $B$.)

b) Cho $C$ là một vành $\lambda$, $\rho : A \to C$ là một cấu xạ $\lambda$, và $(c_i)_{i \in I}$ là một họ các phần tử của $C$. Tồn tại duy nhất một cấu xạ $\lambda$ $\rho' : B \to C$ mở rộng $\rho$ và sao cho $\rho'(X_i) = c_i$ với mọi $i \in I$.