Exercice 57, § 1

Soient $m, n$ deux entiers $\geq 1$. Pour tout anneau A de caractéristique $p$, notons $_m W_n(A)$ le noyau de l’endomorphisme $F^m$ de $W_n(A)$. a) Pour $m \geq 2$ et $n \geq 1$, le diagramme suivant est commutatif

où les applications V, F sont induites par les homomorphismes de décalage et de Frobenius respectivement, I est l’injection naturelle et R la projection naturelle. b) Pour $n \geq 1$ et $a = [a_0, ..., a_{n-1}]$ dans $W_n(A)$, on note $\tilde{a}$ l’élément $(a_0, ..., a_{n-1}, 0, ...)$ de $W(A)$.

Soient $a \in {}_m W_n(A)$, $b \in {}_n W_m(A)$. On pose alors

(cf. p. 57, exerc. 43 pour la notation E, et p. 54, exerc. 40 pour la notation $\omega_A$). Prouver que l’application $(a, b) \mapsto \langle a, b \rangle$ de ${}_m W_n(A) \times {}_n W_m(A)$ dans $A^*$ est $\mathbf{Z}$-bilinéaire. c) Avec les notations de $a$, on a et