Bài tập 57, § 1

Cho $m, n$ là hai số nguyên $\geq 1$. Với mọi vành A có đặc số $p$, ký hiệu $_m W_n(A)$ là hạt nhân của tự đồng cấu $F^m$ của $W_n(A)$. a) Với $m \geq 2$ và $n \geq 1$, biểu đồ sau là giao hoán

trong đó các ánh xạ V, F lần lượt cảm sinh bởi các đồng cấu dịch chuyển và đồng cấu Frobenius, I là đơn ánh tự nhiên và R là phép chiếu tự nhiên. b) Với $n \geq 1$ và $a = [a_0, ..., a_{n-1}]$ trong $W_n(A)$, ta ký hiệu $\tilde{a}$ là phần tử $(a_0, ..., a_{n-1}, 0, ...)$ của $W(A)$.

Cho $a \in {}_m W_n(A)$, $b \in {}_n W_m(A)$. Khi đó đặt

(xem p. 57, Bài tập 43 về ký hiệu E, và p. 54, Bài tập 40 về ký hiệu $\omega_A$). Chứng minh rằng ánh xạ $(a, b) \mapsto \langle a, b \rangle$ từ ${}_m W_n(A) \times {}_n W_m(A)$ vào $A^*$ là song tuyến tính trên $\mathbf{Z}$. c) Với ký hiệu như trong a), ta có và