Exercice 58, § 1

a) Soit $\varepsilon(T)$ la série formelle $\exp(- \sum_{n=0}^\infty T^{p^n}/p^n)$ de $\mathbf{Q}[[T]]$. On a

où $\mu$ est la fonction de Möbius. Les coefficients de $\varepsilon(T)$ appartiennent à $\mathbf{Z}_{(p)}$. b) Soit $X = (X_n)_{n \in \mathbf{N}}$ une famille d’indéterminées. Dans l’algèbre $\mathbf{Q}[(X_n)_{n \in \mathbf{N}}]$, on a l’égalité c) Soit $A$ une $\mathbf{Z}_{(p)}$-algèbre. On suppose que la multiplication par $p.1_A$ est injective dans $A$. Soit $a = (a_n)_{n \in \mathbf{N}} \in A^\mathbf{N}$. Pour que la série $\exp(\sum_{n=0}^\infty a_n T^{p^n}/p^n)$ de $A\left[\frac{1}{p}\right][[T]]$ ait ses coefficients dans $A$, il faut et il suffit que $a$ appartienne à $\Phi_A(W(A))$. d) Soit $A$ une $\mathbf{Z}_{(p)}$-algèbre. L’application $E \circ \omega_A$ de $W(A)$ dans $\Lambda(A)$ (cf. p. 54, exerc. 40 et p. 57, exerc. 43) associe à $a = (a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ l’élément $\prod_{n=0}^\infty \varepsilon(a_n(-T)^{p^n})$ de $\Lambda(A)$. e) Soit $A$ une $\mathbf{Z}_{(p)}$-algèbre. Supposons que la multiplication par $p.1_A$ soit injective dans $A$. Soit $\sigma$ un endomorphisme de $A$ vérifiant $\sigma a \equiv a^p \mod pA$. Soit $s_\sigma : A \to W(A)$ l’homomorphisme associé à $\sigma$ (p. 44, exerc. 14). Alors, pour tout $a \in A$, la série formelle a ses coefficients dans $A$, et on a f) Soit $\mathscr{A}$ l’anneau $\mathbf{Z}_{(p)}[(X_n)_{n \in \mathbf{N}}]$ et soit $X = (X_n)_{n \in \mathbf{N}} \in W(\mathscr{A})$. La série $E_{F_{\mathscr{A}}}(X, T)$ a ses coefficients dans $W(\mathscr{A})$. Pour toute $\mathbf{Z}_{(p)}$-algèbre $A$ et tout élément $a = (a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ de $W(A)$, on notera $E_F(a, T)$ la série obtenue en appliquant $W(\varphi)$ aux coefficients de $E_{F_{\mathscr{A}}}(X, T)$ où $\varphi : \mathscr{A} \to A$ est l’application qui à $X_n$ associe $a_n$. Alors $E_F(a, T)$ a ses coefficients dans $W(A)$ et si $s_A$ désigne l’homomorphisme $W(A) \to W(W(A))$ défini à l’exerc. 15, p. 44, on a