Bài tập 58, § 1

a) Cho $\varepsilon(T)$ là chuỗi hình thức $\exp(- \sum_{n=0}^\infty T^{p^n}/p^n)$ của $\mathbf{Q}[[T]]$. Ta có

trong đó $\mu$ là hàm Möbius. Các hệ số của $\varepsilon(T)$ thuộc $\mathbf{Z}_{(p)}$. b) Cho $X = (X_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là một họ các bất định. Trong đại số $\mathbf{Q}[(X_n)_{n \in \mathbf{N}}]$, ta có đẳng thức c) Cho $A$ là một $\mathbf{Z}_{(p)}$-đại số. Giả sử rằng phép nhân bởi $p.1_A$ là đơn ánh trong $A$. Cho $a = (a_n)_{n \in \mathbf{N}} \in A^\mathbf{N}$. Để chuỗi $\exp(\sum_{n=0}^\infty a_n T^{p^n}/p^n)$ của $A\left[\frac{1}{p}\right][[T]]$ có các hệ số thuộc $A$, điều kiện cần và đủ là $a$ thuộc $\Phi_A(W(A))$. d) Cho $A$ là một $\mathbf{Z}_{(p)}$-đại số. Ánh xạ $E \circ \omega_A$ của $W(A)$ vào $\Lambda(A)$ (xem p. 54, Bài tập 40 và p. 57, Bài tập 43) liên kết với $a = (a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ phần tử $\prod_{n=0}^\infty \varepsilon(a_n(-T)^{p^n})$ của $\Lambda(A)$. e) Cho $A$ là một $\mathbf{Z}_{(p)}$-đại số. Giả sử rằng phép nhân bởi $p.1_A$ là đơn ánh trong $A$. Cho $\sigma$ là một tự đồng cấu của $A$ thỏa mãn $\sigma a \equiv a^p \mod pA$. Cho $s_\sigma : A \to W(A)$ là đồng cấu liên kết với $\sigma$ (p. 44, Bài tập 14). Khi đó, với mọi $a \in A$, chuỗi hình thức có các hệ số thuộc $A$, và ta có f) Cho $\mathscr{A}$ là vành $\mathbf{Z}_{(p)}[(X_n)_{n \in \mathbf{N}}]$ và cho $X = (X_n)_{n \in \mathbf{N}} \in W(\mathscr{A})$. Chuỗi $E_{F_{\mathscr{A}}}(X, T)$ có các hệ số thuộc $W(\mathscr{A})$. Với mọi $\mathbf{Z}_{(p)}$-đại số $A$ và mọi phần tử $a = (a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ của $W(A)$, ta ký hiệu bởi $E_F(a, T)$ chuỗi thu được bằng cách áp dụng $W(\varphi)$ vào các hệ số của $E_{F_{\mathscr{A}}}(X, T)$, trong đó $\varphi : \mathscr{A} \to A$ là ánh xạ liên kết $a_n$ với $X_n$. Khi đó $E_F(a, T)$ có các hệ số thuộc $W(A)$ và nếu $s_A$ ký hiệu đồng cấu $W(A) \to W(W(A))$ được xác định trong Bài tập 15, p. 44, ta có