Exercice 10, § 2

Soient k un corps de caractéristique p, $(\xi_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ une p-base de k, et pour chaque entier n $\geqslant 1$, soit C_n le sous-anneau de W_n(k) engendré par W_n(k^{p^{n-1}}) et les éléments $\tau(\xi_\lambda) = [\xi_\lambda, 0, ..., 0]$, pour $\lambda \in \Lambda$. Pour tout entier n $\geqslant 1$, la projection de W_{n+1}(k) sur W_n(k) applique C_{n+1} dans C_n. On note C le sous-anneau de W(k) limite projective des C_n. a) Soit n un entier $\geqslant 0$. Posons A = W_{n+1}(k) et pour tout entier i $\geqslant 0$ soit $\rho_i = \rho_{n,i}^\Lambda$ l’application de k dans A définie à l’exerc. 2, p. 69. Prouver qu’on a, pour $a \in k$, $\rho_i(a) = V^i \tau(a^{p^n})$. En déduire que les éléments $\rho_i(a)$ pour $a \in k$, engendrent le sous-anneau W_{n+1}(k^{p^n}) de A. b) Soit $\tilde{C}$ un p-anneau de corps résiduel k et de longueur infinie, et soit $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ une famille d’éléments de $\tilde{C}$ relevant la p-base $(\xi_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$. Utilisant l’exerc. 4, p. 70, prouver qu’il existe, pour chaque entier n $\geqslant 1$, un unique homomorphisme d’anneaux $\varphi_n : \tilde{C} \to W_n(k)$ induisant l’identité sur k par passage aux quotients, et envoyant $x_\lambda$ sur $\tau(\xi_\lambda)$ pour tout $\lambda \in \Lambda$. Déduire de l’exerc. 3, p. 69 que l’image de $\varphi_n$ est C_n. c) Les applications $(\varphi_n)_{n \geqslant 1}$ forment un système projectif d’applications de $\tilde{C}$ dans les C_n et $\varphi = \lim \varphi_n$ est un isomorphisme de $\tilde{C}$ sur C. Pour chaque n $\geqslant 1$, la projection canonique $C \to C_n$ identifie C_n à C/p^nC.