Bài tập 10, § 2

Cho k là một trường có đặc số p, $(\xi_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ là một cơ sở p của k, và với mỗi số nguyên n $\geqslant 1$, cho C_n là vành con của W_n(k) sinh bởi W_n(k^{p^{n-1}}) và các phần tử $\tau(\xi_\lambda) = [\xi_\lambda, 0, ..., 0]$, với $\lambda \in \Lambda$. Với mọi số nguyên n $\geqslant 1$, phép chiếu từ W_{n+1}(k) lên W_n(k) ánh xạ C_{n+1} vào C_n. Ký hiệu C là vành con của W(k) là giới hạn xạ ảnh của các C_n. a) Cho n là một số nguyên $\geqslant 0$. Đặt A = W_{n+1}(k) và với mọi số nguyên i $\geqslant 0$ cho $\rho_i = \rho_{n,i}^\Lambda$ là ánh xạ từ k vào A được xác định trong Bài tập 2, p. 69. Chứng minh rằng với $a \in k$, $\rho_i(a) = V^i \tau(a^{p^n})$. Suy ra rằng các phần tử $\rho_i(a)$ với $a \in k$ sinh ra vành con W_{n+1}(k^{p^n}) của A. b) Cho $\tilde{C}$ là một p-vành có trường thặng dư k và có độ dài vô hạn, và cho $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ là một họ các phần tử của $\tilde{C}$ nâng cơ sở p $(\xi_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$. Sử dụng Bài tập 4, p. 70, chứng minh rằng với mỗi số nguyên n $\geqslant 1$, tồn tại duy nhất một đồng cấu vành $\varphi_n : \tilde{C} \to W_n(k)$ cảm sinh đồng nhất trên k bằng cách chuyển qua các thương, và gửi $x_\lambda$ vào $\tau(\xi_\lambda)$ với mọi $\lambda \in \Lambda$. Suy ra từ Bài tập 3, p. 69 rằng ảnh của $\varphi_n$ là C_n. c) Các ánh xạ $(\varphi_n)_{n \geqslant 1}$ lập thành một hệ ánh xạ xạ ảnh từ $\tilde{C}$ vào các C_n và $\varphi = \lim \varphi_n$ là một đẳng cấu của $\tilde{C}$ lên C. Với mỗi n $\geqslant 1$, phép chiếu chính tắc $C \to C_n$ đồng nhất C_n với C/p^nC.