Exercice 12, § 2

Soit A un anneau local complet dont le corps résiduel soit de caractéristique p. a) Soit $x \in m_A$. L’application $n \mapsto (1 + x)^n$ de $\mathbf{Z}$ dans $1 + m_A$ se prolonge de façon unique en une application continue de $\mathbf{Z}_p$ dans $1 + m_A$, notée $\alpha \mapsto (1 + x)^\alpha$. On définit ainsi une structure de $\mathbf{Z}_p$-module sur le groupe multiplicatif $1 + m_A$. b) Soit $\varepsilon$ la série formelle $\exp(- \sum_{n=0}^\infty T^{p^n}/p^n)$ de l’exerc. 58, p. 68. L’application $x \mapsto \varepsilon(x)$ de $m_A$ dans $1 + m_A$ est bijective.

c) Soient $k$ un corps parfait de caractéristique $p$, et $\varphi$ un homomorphisme local de $W(k)$ dans $A$. Pour $\alpha \in W(k)$, considérons la série $\varphi E_F(\alpha, T)$ obtenue en appliquant $\varphi$ aux coefficients de la série $E_F(\alpha, T)$ de l’exerc. 58, f), p. 68. Pour $\alpha \in W(k)$, $x \in 1 + m_A$, posons $x^\alpha = \varphi E_F(\alpha, \varepsilon^{-1}(x))$. Montrer qu’on définit ainsi une action du groupe additif $W(k)$ sur l’ensemble $1 + m_A$, qui prolonge l’action de $W(F_p)$ (identifié à $\mathbf{Z}_p$) définie en $a$. Montrer qu’on a en outre, pour $a \in \mathbf{Z}_p$ et $\alpha \in W(k)$, $x \in 1 + m_A$, la relation $(x^\alpha)^a = x^{a\alpha}$.

d) Utilisant l’exerc. 15, p. 44, prouver qu’on n’a pas toujours, pour $a \in \mathbf{Z}_p$ et $\alpha \in W(k)$, $x \in 1 + m_A$, la relation $(x^a)^\alpha = x^{a\alpha}$. On n’a pas non plus toujours, pour $\alpha \in W(k)$ et $x, y$ dans $1 + m_A$, la relation $(xy)^\alpha = x^\alpha y^\alpha$.