Bài tập 12, § 2

Cho $A$ là một vành địa phương đầy đủ mà trường thặng dư của nó có đặc số p. a) Cho $x \in m_A$. Ánh xạ $n \mapsto (1 + x)^n$ từ $\mathbf{Z}$ vào $1 + m_A$ mở rộng duy nhất thành một ánh xạ liên tục từ $\mathbf{Z}_p$ vào $1 + m_A$, ký hiệu là $\alpha \mapsto (1 + x)^\alpha$. Do đó ta xác định một cấu trúc $\mathbf{Z}_p$-môđun trên nhóm nhân $1 + m_A$. b) Cho $\varepsilon$ là chuỗi hình thức $\exp(- \sum_{n=0}^\infty T^{p^n}/p^n)$ của Bài tập 58, p. 68. Ánh xạ $x \mapsto \varepsilon(x)$ từ $m_A$ vào $1 + m_A$ là song ánh.

c) Cho $k$ là một trường hoàn hảo có đặc số $p$, và $\varphi$ là một đồng cấu địa phương từ $W(k)$ vào $A$. Với $\alpha \in W(k)$, xét chuỗi $\varphi E_F(\alpha, T)$ nhận được bằng cách áp dụng $\varphi$ vào các hệ số của chuỗi $E_F(\alpha, T)$ của Bài tập 58, f), p. 68. Với $\alpha \in W(k)$, $x \in 1 + m_A$, đặt $x^\alpha = \varphi E_F(\alpha, \varepsilon^{-1}(x))$. Bây giờ chứng minh rằng do đó ta xác định một tác động của nhóm cộng $W(k)$ trên tập hợp $1 + m_A$, mở rộng tác động của $W(F_p)$ (đồng nhất với $\mathbf{Z}_p$) được xác định trong a). Bây giờ chứng minh rằng hơn nữa, với $a \in \mathbf{Z}_p$ và $\alpha \in W(k)$, $x \in 1 + m_A$, ta có quan hệ $(x^\alpha)^a = x^{a\alpha}$.

d) Sử dụng Bài tập 15, p. 44, chứng minh rằng không phải lúc nào, với $a \in \mathbf{Z}_p$ và $\alpha \in W(k)$, $x \in 1 + m_A$, ta cũng có quan hệ $(x^a)^\alpha = x^{a\alpha}$. Cũng không phải lúc nào, với $\alpha \in W(k)$ và $x, y$ thuộc $1 + m_A$, ta cũng có quan hệ $(xy)^\alpha = x^\alpha y^\alpha$.