Exercice 13, § 2

Algèbre commutative, IX

Soit $A$ un anneau de valuation discrète complet de caractéristique nulle, dont le corps résiduel soit de caractéristique $p$ . Soient $K$ le corps de fractions de $A$ , $\hat{K}$ une clôture algébrique de $K$ , munie de l’unique valuation $v$ prolongeant celle de $K$ (VI, § 8, no 7), $\hat{K}$ le complété de $K$ , $\hat{A}$ l’anneau de valuation de $\hat{K}$ . Posons $e = v(p)$ .

a) La série $\log(1 + x) = \sum_{i=1}^\infty (-1)^{i-1} x^i / i$ converge pour $v(x) > 0$ et définit des homomorphismes de $\mathbf{Z}_p$ -modules (cf. exerc. 12)

\begin{align*} \log : 1 + m_{\hat{A}} &\to \hat{K}, \\ \log : 1 + m_A &\to K . \end{align*}

b) La série $\exp(x) = \sum_{i=0}^\infty x^i / i!$ converge sur l’idéal $a$ de $\hat{K}$ des éléments de valuation $> e/(p-1)$ , et définit des homomorphismes de $\mathbf{Z}_p$ -modules

\begin{align*} \exp : a &\to 1 + m_{\hat{A}} \\ \exp : a \cap K &\to 1 + m_A . \end{align*}

c) Pour $x \in a$ , on a $\log(\exp(x)) = x$ , $\log(1 + x) \in a$ et $\exp(\log(1 + x)) = 1 + x$ . Ainsi exp définit des isomorphismes de $\mathbf{Z}_p$ -modules

\begin{align*} a &\to 1 + a \\ a \cap K &\to 1 + (a \cap K) \end{align*}

d’inverses définis par log.

d) Le noyau de $\log$ sur $1 + m_{\hat{A}}$ est formé des racines de l’unité dont l’ordre est une puissance de $p$ . L’image $\log(1 + m_{\hat{A}})$ est égale à $m_{\hat{A}}$ .

Solution

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