Bài tập 13, § 2

Cho $A$ là một vành định giá rời rạc đầy đủ có đặc số không, mà trường thặng dư của nó có đặc số $p$. Cho $K$ là trường phân thức của $A$, $\hat{K}$ là một bao đóng đại số của $K$, được trang bị định giá duy nhất $v$ mở rộng định giá của $K$ (VI, § 8, No. 7), $\hat{K}$ là phần đầy đủ của $K$, $\hat{A}$ là vành định giá của $\hat{K}$. Đặt $e = v(p)$.

a) Chuỗi $\log(1 + x) = \sum_{i=1}^\infty (-1)^{i-1} x^i / i$ hội tụ với $v(x) > 0$ và xác định các đồng cấu của các $\mathbf{Z}_p$-môđun (xem Bài tập 12)

b) Chuỗi $\exp(x) = \sum_{i=0}^\infty x^i / i!$ hội tụ trên iđêan $a$ của $\hat{K}$ gồm các phần tử có định giá $> e/(p-1)$, và xác định các đồng cấu của các $\mathbf{Z}_p$-môđun

c) Với $x \in a$, ta có $\log(\exp(x)) = x$, $\log(1 + x) \in a$ và $\exp(\log(1 + x)) = 1 + x$. Do đó exp xác định các đẳng cấu của các $\mathbf{Z}_p$-môđun

với các nghịch đảo được xác định bởi log.

d) Hạt nhân của $\log$ trên $1 + m_{\hat{A}}$ gồm các căn đơn vị có cấp là một lũy thừa của $p$. Ảnh $\log(1 + m_{\hat{A}})$ bằng $m_{\hat{A}}$.