Exercice 16, § 2

Soit A un anneau de valuation discrète complet, de corps résiduel $k$. a) Prouver qu’il existe une section multiplicative $\varphi : k^* \to A$. (Si A contient un corps, utiliser le § 3. Sinon, utiliser l’exerc. 11, p. 72.) b) Soient t une uniformisante de A, $\mathscr{C}$ le groupe engendré par t, et $\varphi : k^* \to A$ une section multiplicative. Le groupe multiplicatif du corps des fractions de A se décompose en un produit direct $\mathscr{C} \times \varphi(k^*) \times (1 + m_A)$. c) Supposons A d’égales caractéristiques et soit K un corps de représentants. Alors A s’identifie à l’anneau $K[[T]]$ des séries formelles à coefficients dans K, et le groupe $1 + m_A$ s’identifie au groupe $\Lambda(K) = 1 + TK[[T]]$ (cf. p. 56, exerc. 42). Si K est de caractéristique nulle, l’application $\varphi \mapsto \frac{1}{T} \log \varphi$ du groupe $\Lambda(K)$ dans le groupe additif $K[[T]]$ est un isomorphisme. Si A est de caractéristique $p$, $1 + m_A$ s’identifie au groupe $W(A)^L$ où L est l’ensemble des entiers positifs premiers à $p$ (utiliser les exerc. 40, h) p. 54 et 43, b), p. 57).