Bài tập 16, § 2

Cho A là một vành định giá rời rạc đầy đủ, với trường thặng dư $k$. a) Chứng minh rằng tồn tại một tiết diện nhân $\varphi : k^* \to A$. (Nếu A chứa một trường, dùng § 3. Nếu không, dùng Bài tập 11, p. 72.) b) Cho t là một phần tử chuẩn tắc của A, $\mathscr{C}$ là nhóm sinh bởi t, và $\varphi : k^* \to A$ là một tiết diện nhân. Nhóm nhân của trường phân thức của A phân rã thành một tích trực tiếp $\mathscr{C} \times \varphi(k^*) \times (1 + m_A)$. c) Giả sử A có đặc số bằng nhau và K là một trường các phần tử đại diện. Khi đó A được đồng nhất với vành $K[[T]]$ các chuỗi lũy thừa hình thức với các hệ số trong K, và nhóm $1 + m_A$ được đồng nhất với nhóm $\Lambda(K) = 1 + TK[[T]]$ (xem p. 56, Bài tập 42). Nếu K có đặc số không, ánh xạ $\varphi \mapsto \frac{1}{T} \log \varphi$ từ nhóm $\Lambda(K)$ vào nhóm cộng $K[[T]]$ là một đẳng cấu. Nếu A có đặc số $p$, $1 + m_A$ được đồng nhất với nhóm $W(A)^L$ trong đó L là tập hợp các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với $p$ (dùng Bài tập 40, h) p. 54 và 43, b), p. 57).