Exercice 17, § 2

Soit A un anneau de valuation discrète complet, dont le corps résiduel $k$ est parfait de caractéristique $p$ et dont le corps des fractions est de caractéristique 0. Soit $f$ l’unique homomorphisme de $W(k)$ dans A qui induise l’identité sur le corps résiduel $k$. Soit enfin $\pi$ une uniformisante de A.

a) Il existe un polynôme d’Eisenstein P à coefficients dans $f(W(k))$ tel que $P(\pi) = 0$ (utiliser VIII, § 5, n° 4). b) Soit e la valuation de p. Pour tout entier $n \geq 0$, notons $U_n$ le groupe multiplicatif $1 + m_A^n$, et posons $\lambda(n) = \inf(np, n + e)$, $e_1 = e/(p - 1)$. Soit u la classe dans $k^*$ de $p\pi^{-e}$. Soit $\varphi$ l’endomorphisme de $U_1$ qui à x associe $x^p$. On a alors pour tout entier $n \geq 1$, $\varphi(U_n) \subset U_{\lambda(n)}$, $\varphi(U_{n+1}) \subset U_{\lambda(n)+1}$ et l’homomorphisme induit $\varphi_n : U_n/U_{n+1} \to U_{\lambda(n)}/U_{\lambda(n)+1}$ est un isomorphisme si $n \neq e_1$. Si $n = e_1$, $\varphi_n$ est injective si et seulement si l’équation $x^{p-1} + u = 0$ n’a pas de solution dans $k$, et surjective si et seulement si l’équation $x^p + ux = y$ a une solution dans $k$ pour tout $y \in k$. c) Les deux conditions suivantes sont équivalentes : (i) A contient p racines p-ièmes de l’unité ; (ii) $e_1$ est un entier et l’équation $x^{p-1} + u = 0$ a une solution dans $k$. d) La topologie induite sur $U_1$ par celle de A coïncide avec la topologie p-adique de $U_1$. e) Soit S l’ensemble des entiers $n \geq 1$ tels que A contienne $p^n$ racines $p^n$-ièmes de l’unité. Alors $s = \mathrm{Card}(S)$ est fini. f) Soit I l’ensemble des entiers i étrangers à p et vérifiant $1 \leq i < e + e_1$. Alors on a $\mathrm{Card}(I) = e$ et l’image de $\mathbf{N} - \{0\}$ par $\lambda$ est $\mathbf{N} - (I \cup \{0\})$. g) Si $e_1$ est entier et que $\varphi_{e_1}$ n’est pas surjective, posons $I' = I \cup \{e + e_1\}$; sinon, posons $I' = I$. Pour chaque entier $i \in I'$, soit $\pi_i$ un élément de A de valuation i. Alors l’application de $W(k)^{I'}$ dans $U_1$ qui à $(a_i)_{i \in I'}$ associe $\prod_{i \in I'} (1 + \pi_i)^{a_i}$ est surjective ; c’est un homomorphisme de $Z_p$-modules. h) Soient $n$ un entier $> e_1$ et $I(n)$ l’intervalle $[n, \lambda(n) - 1]$ de $\mathbf{N}$. Pour tout entier $i \in I(n)$, soit $\pi_i$ un élément de A de valuation i. Alors l’application de $W(k)^{I(n)}$ dans $U_n$ qui à $(a_i)_{i \in I(n)}$ associe $\prod_{i \in I(n)} (1 + \pi_i)^{a_i}$ est un isomorphisme de $Z_p$-modules. i) Supposons que k soit fini et notons d le degré sur $\mathbf{Q}_p$ du corps des fractions de A. Alors le $Z_p$-module $1 + m_A$ est isomorphe à $(\mathbf{Z}/p^s\mathbf{Z}) \times \mathbf{Z}_p^d$. (On pourra utiliser les questions précédentes, ou bien utiliser l’exerc. 13, p. 73.)