Bài tập 17, § 2

Cho A là một vành định giá rời rạc đầy đủ, có trường thặng dư $k$ là hoàn hảo với đặc số $p$ và có trường phân thức là đặc số 0. Cho $f$ là đồng cấu duy nhất từ $W(k)$ vào A cảm sinh đồng nhất trên trường thặng dư $k$. Cuối cùng, cho $\pi$ là một phần tử nguyên thủy của A.

a) Tồn tại một đa thức Eisenstein P với các hệ số trong $f(W(k))$ sao cho $P(\pi) = 0$ (dùng VIII, § 5, No. 4). b) Gọi e là giá trị của p. Với mọi số nguyên $n \geq 0$, ký hiệu bởi $U_n$ nhóm nhân $1 + m_A$, và đặt $\lambda(n) = \inf(np, n + e)$, $e_1 = e/(p - 1)$. Gọi u là lớp trong $k^*$ của $p\pi^{-e}$. Gọi $\varphi$ là tự đồng cấu của $U_1$ gán $x^p$ cho x. Khi đó, với mọi số nguyên $n \geq 1$, ta có $\varphi(U_n) \subset U_{\lambda(n)}$, $\varphi(U_{n+1}) \subset U_{\lambda(n)+1}$ và đồng cấu cảm sinh $\varphi_n : U_n/U_{n+1} \to U_{\lambda(n)}/U_{\lambda(n)+1}$ là một đẳng cấu nếu $n \neq e_1$. Nếu $n = e_1$, thì $\varphi_n$ là đơn ánh khi và chỉ khi phương trình $x^{p-1} + u = 0$ không có nghiệm trong $k$, và là toàn ánh khi và chỉ khi phương trình $x^p + ux = y$ có nghiệm trong $k$ với mọi $y \in k$. c) Hai điều kiện sau là tương đương: (i) A chứa p căn bậc p của đơn vị; (ii) $e_1$ là một số nguyên và phương trình $x^{p-1} + u = 0$ có một nghiệm trong $k$. d) Tôpô cảm sinh trên $U_1$ bởi tôpô của A trùng với tôpô p-adic của $U_1$. e) Gọi S là tập hợp các số nguyên $n \geq 1$ sao cho A chứa $p^n$ căn bậc $p^n$ của đơn vị. Khi đó $s = \mathrm{Card}(S)$ là hữu hạn. f) Gọi I là tập hợp các số nguyên i nguyên tố cùng nhau với p và thỏa mãn $1 \leq i < e + e_1$. Khi đó ta có $\mathrm{Card}(I) = e$ và ảnh của $\mathbf{N} - \{0\}$ bởi $\lambda$ là $\mathbf{N} - (I \cup \{0\})$. g) Nếu $e_1$ là một số nguyên và $\varphi_{e_1}$ không toàn ánh, đặt $I' = I \cup \{e + e_1\}$; nếu không, đặt $I' = I$. Với mỗi số nguyên $i \in I'$, gọi $\pi_i$ là một phần tử của A có giá trị i. Khi đó ánh xạ từ $W(k)^{I'}$ vào $U_1$ gán $\prod_{i \in I'} (1 + \pi_i)^{a_i}$ cho $(a_i)_{i \in I'}$ là toàn ánh; đó là một đồng cấu các $Z_p$-môđun. h) Gọi $n$ là một số nguyên $> e_1$ và gọi $I(n)$ là khoảng $[n, \lambda(n) - 1]$ của $\mathbf{N}$. Với mọi số nguyên $i \in I(n)$, gọi $\pi_i$ là một phần tử của A có giá trị i. Khi đó ánh xạ từ $W(k)^{I(n)}$ vào $U_n$ gán $\prod_{i \in I(n)} (1 + \pi_i)^{a_i}$ cho $(a_i)_{i \in I(n)}$ là một đẳng cấu các $Z_p$-môđun. i) Giả sử rằng k là hữu hạn và ký hiệu bởi d bậc trên $\mathbf{Q}_p$ của trường phân thức của A. Khi đó $Z_p$-môđun $1 + m_A$ đẳng cấu với $(\mathbf{Z}/p^s\mathbf{Z}) \times \mathbf{Z}_p^d$. (Có thể dùng các câu hỏi trước đó, hoặc dùng Bài tập 13, p. 73.)