Exercice 2, § 2

Soient A un anneau et $(J_n)_{n \in \mathbf{N}}$ une suite décroissante d’idéaux de A, telle que $pJ_n + J_n^p \subset J_{n+1}$ pour tout $n \in \mathbf{N}$. a) Prouver que les assertions du lemme 1 et de la prop. 1 du § 1, no 1 sont encore vraies sous cette hypothèse. b) Soient i et n deux entiers positifs. Lorsque $i \leq n$ l’application $x \mapsto p^i x^{p^{n-i}}$ de A dans A définit, par passage aux quotients, une application

Pour $i > n$, on pose $\rho_{n,i}^A = 0$. Pour $x \in A/J_n$ et $a \in A/J_0$, on a $x^{p^{n-i}} \rho_{n,i}^A(a) = \rho_{n,i}^A(\overline{x}a)$, où $\overline{x}$ est l’image de x dans $A/J_0$. Si j est un entier positif et que $a, b$ sont deux éléments de $A/J_n$, on a c) Soit $(R_n)_{n \in \mathbf{N}}$ la suite de polynômes construite dans l’exerc. 3, p. 42. Soient n et i deux entiers positifs, $a$ et $b$ deux éléments de $A/J_0$. On a alors, dans $A/J_n$, l’égalité