Bài tập 2, § 2

Cho A là một vành và $(J_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là một dãy giảm các iđêan của A, sao cho $pJ_n + J_n^p \subset J_{n+1}$ với mọi $n \in \mathbf{N}$. a) Chứng minh rằng các phát biểu của bổ đề 1 và của mệnh đề 1 của § 1, No. 1 vẫn đúng dưới giả thiết này. b) Cho i và n là hai số nguyên dương. Khi $i \leq n$ ánh xạ $x \mapsto p^i x^{p^{n-i}}$ từ A vào A xác định, bằng cách chuyển qua các thương, một ánh xạ

Với $i > n$, ta đặt $\rho_{n,i}^A = 0$. Với $x \in A/J_n$ và $a \in A/J_0$, ta có $x^{p^{n-i}} \rho_{n,i}^A(a) = \rho_{n,i}^A(\overline{x}a)$, trong đó $\overline{x}$ là ảnh của x trong $A/J_0$. Nếu j là một số nguyên dương và nếu $a, b$ là hai phần tử của $A/J_n$, ta có c) Cho $(R_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là dãy các đa thức được xây dựng trong bài tập 3, p. 42. Cho n và i là hai số nguyên dương, $a$ và $b$ là hai phần tử của $A/J_0$. Khi đó ta có, trong $A/J_n$, đẳng thức