Exercice 3, § 2

Soit n un entier positif. Soit C un $p$-anneau de Cohen, de corps résiduel k, et de longueur $n+1$. Soit $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ une famille d’éléments de C relevant une $p$-base $(\xi_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ de k. On notera $\rho_i : k \to C$ pour tout $i \in \mathbf{N}$, l’application $\rho_{n,i}^C$ définie à l’exerc. 2, où l’on prend pour $J_m$ l’idéal $p^{m+1}C$. a) Pour $r \in \mathbf{N}$, soit M, l’ensemble des multi-indices $m \in \mathbf{N}^{(\Lambda)}$ tels que, pour tout $\lambda \in \Lambda$, on ait $0 \leq m_\lambda < p^r$. Alors, pour tout élément $\alpha$ de C, il existe une unique famille à support fini $(a_{i,m})$ $(0 \leq i \leq n,\ m \in M_{n-i})$ d’éléments de k, telle que

où la notation $x^m$ désigne le produit $\prod_{\lambda \in \Lambda} x_\lambda^{m_\lambda}$. b) Considérons l’anneau U engendré par des générateurs $[x_\lambda]$, $\lambda$ parcourant $\Lambda$, et $[\rho_i(a)]$, i parcourant $\mathbf{N}$ et $a$ parcourant k, et soumis aux seules relations suivantes (où les polynômes $R_i$ sont ceux introduits dans l’exerc. 3, p. 42). (i) $[\rho_i(a)] = 0$ pour $a \in k,\ i > n$, (ii) $[\rho_0(1)] = 1$ et $[\rho_0(0)] = 0$, (iii) $[\rho_i(a)] [\rho_j(b)] = [\rho_{i+j}(a^{p^j} b^{p^i})]$ pour $i, j$ dans $\mathbf{N}$ et $a, b$ dans $k$, (iv) $[\rho_i(a)] + [\rho_i(b)] = \sum_{m=0}^{n-i} [\rho_{i+m}(R_m(a, b))]$ pour $i \in \mathbf{N}$ et $a, b$ dans $k$, (v) $[x_\lambda]^{p^{n-i}} [\rho_i(a)] = [\rho_i(\xi_\lambda a)]$ pour $0 \leq i \leq n,\ \lambda \in \Lambda,\ a \in k$. Prouver qu’on a $[\rho_i(0)] = 0$ pour tout $i \in \mathbf{N}$. Prouver, grâce à l’exerc. 3, b), p. 42, que si p est impair, on a $[\rho_0(-1)] = -1$; si p est pair, on a $\sum_{i=0}^n [\rho_i(1)] = -1$. c) Il existe une seule application de U dans C, qui, pour toute famille à support fini $(a_{i,m})_{0 \leq i \leq n,\ m \in M_{n-i}}$ d’éléments de k, associe à l’élément de U l’élément $\sum_{i=0}^n \sum_{m \in M_{n-i}} \rho_i(a_{i,m}) x^m$ de C ; c’est un isomorphisme d’anneaux. d) Déduire de ce qui précède une autre démonstration des résultats du § 2, no 3.