Bài tập 3, § 2

Cho n là một số nguyên dương. Cho C là một vành $p$ Cohen, với trường thặng dư k, và có độ dài $n+1$. Cho $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ là một họ các phần tử của C nâng một cơ sở $p$ $(\xi_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ của k. Ta ký hiệu bởi $\rho_i : k \to C$ với mọi $i \in \mathbf{N}$ ánh xạ $\rho_{n,i}^C$ được xác định trong Bài tập 2, trong đó lấy cho $J_m$ iđêan $p^{m+1}C$. a) Với $r \in \mathbf{N}$, cho M là tập hợp các đa chỉ số $m \in \mathbf{N}^{(\Lambda)}$ sao cho, với mọi $\lambda \in \Lambda$, ta có $0 \leq m_\lambda < p^r$. Khi đó, với mọi phần tử $\alpha$ của C, tồn tại duy nhất một họ giá hữu hạn $(a_{i,m})$ $(0 \leq i \leq n,\ m \in M_{n-i})$ các phần tử của k, sao cho

trong đó ký hiệu $x^m$ chỉ tích $\prod_{\lambda \in \Lambda} x_\lambda^{m_\lambda}$. b) Xét vành U sinh bởi các phần tử sinh $[x_\lambda]$, $\lambda$ chạy qua $\Lambda$, và $[\rho_i(a)]$, i chạy qua $\mathbf{N}$ và a chạy qua k, và chỉ thỏa mãn các hệ thức sau (trong đó các đa thức $R_i$ là các đa thức được đưa vào trong Bài tập 3, p. 42). (i) $[\rho_i(a)] = 0$ với $a \in k,\ i > n$, (ii) $[\rho_0(1)] = 1$ và $[\rho_0(0)] = 0$, (iii) $[\rho_i(a)] [\rho_j(b)] = [\rho_{i+j}(a^{p^j} b^{p^i})]$ với i, j trong $\mathbf{N}$ và a, b trong k, (iv) $[\rho_i(a)] + [\rho_i(b)] = \sum_{m=0}^{n-i} [\rho_{i+m}(R_m(a, b))]$ với $i \in \mathbf{N}$ và a, b trong k, (v) $[x_\lambda]^{p^{n-i}} [\rho_i(a)] = [\rho_i(\xi_\lambda a)]$ với $0 \leq i \leq n,\ \lambda \in \Lambda,\ a \in k$. Chứng minh rằng ta có $[\rho_i(0)] = 0$ với mọi $i \in \mathbf{N}$. Chứng minh, bằng Bài tập 3, b), p. 42, rằng nếu p là lẻ, ta có $[\rho_0(-1)] = -1$; nếu p là chẵn, ta có $\sum_{i=0}^n [\rho_i(1)] = -1$. c) Chỉ tồn tại duy nhất một ánh xạ từ U vào C, ánh xạ này, đối với mọi họ giá hữu hạn $(a_{i,m})_{0 \leq i \leq n,\ m \in M_{n-i}}$ các phần tử của k, gán cho phần tử của U phần tử $\sum_{i=0}^n \sum_{m \in M_{n-i}} \rho_i(a_{i,m}) x^m$ của C; đó là một đẳng cấu của các vành. d) Suy ra từ các kết quả trên một chứng minh khác của các kết quả của § 2, No. 3.