Exercice 4, § 2

Soient C un $p$-anneau de Cohen de longueur infinie, et $k$ son corps résiduel. Soient A un anneau, et $(J_n)_{n \in \mathbf{N}}$ une suite décroissante d’idéaux de A vérifiant $pJ_n + J_n^p \subset J_{n+1}$ pour tout $n \in \mathbf{N}$. Soient enfin $\overline{\varphi}: k \to A/J_0$ un homomorphisme d’anneaux, $(\xi_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ une $p$-base de $k$, $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ une famille d’éléments de C, relevant cette $p$-base, $(a_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ une famille d’éléments de A, telle que l’image de $a_\lambda$ dans $A/J_0$ soit $\overline{\varphi}(\xi_\lambda)$. a) Pour tout $n \in \mathbf{N}$, il existe un unique homomorphisme $\varphi_n$ de $C/p^{n+1}C$ dans $A/J_n$ tel que $\varphi_n \circ \rho_{n,i}^C = \rho_{n,i}^A \circ \overline{\varphi}$ et que l’image par $\varphi_n$ de la classe de $x_\lambda$ soit la classe de $a_\lambda$. (Utiliser les exerc. 2 et 3.) b) Supposons que A soit séparé et complet pour la topologie définie par la filtration $(J_n)_{n \in \mathbf{N}}$. Alors il existe un unique homomorphisme d’anneaux $\varphi$ de C dans A, tel que $\varphi(x_\lambda) = a_\lambda$ pour $\lambda \in \Lambda$, et que $\varphi$ induise $\overline{\varphi}$ par passage aux quotients. Cet homomorphisme est continu. c) Supposons que l’anneau A soit local, séparé et complet, qu’on ait $J_n = m_A^{n+1}$ pour tout $n \in \mathbf{N}$, qu’on ait $A/J_0 = k$ et que $\overline{\varphi}$ soit l’application identique. Prouver que l’image par $\varphi$ de C dans A est l’unique sous-anneau de Cohen de $A'$ contenant chacun des éléments $a_\lambda$, et donner ainsi une autre démonstration de la partie a) du th. 1 du § 2, no 2 ; si $k$ est parfait et que C est l’anneau W(k), on obtient une autre démonstration du th. 2 du § 2, no 4.